Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

φ(θ)=sin⁡θ,Ψ(θ)=cos⁡θ\varphi(\theta)=\sin \theta, \Psi(\theta)=\cos \theta

ঢাকা কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta-\tan \theta=\frac{6}{5} বা, cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ=65\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{6}{5} বা, cos⁡2θ−sin⁡2θ2sin⁡θ⋅cos⁡θ=35\frac{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}=\frac{3}{5} বা, cos⁡2θsin⁡2θ=35\frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}=\frac{3}{5} বা, cot⁡2θ=35\cot 2 \theta=\frac{3}{5} বা, cosec⁡⁡2θ=345\operatorname{\cosec} 2 \theta=\frac{\sqrt{34}}{5} বা, 2θ=cosec⁡⁡−13452 \theta=\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{\sqrt{34}}{5} ∴θ=12cosec⁡⁡−1345\therefore \quad \theta=\frac{1}{2} \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{\sqrt{34}}{5} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(θ)=sin⁡θ\varphi(\theta)=\sin \theta এবং ψ(θ)=cos⁡θ\psi(\theta)=\cos \theta এখানে, sin⁡{πφ(π2−θ)}=cos⁡{πψ(π2−θ)}\sin \left\{\pi \varphi\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}=\cos \left\{\pi \psi\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\} বা. sin⁡{πsin⁡(π2π,θ)}=cos⁡{πcos⁡(π2−θ)}\sin \left\{\pi \sin \left(\frac{\pi}{2} \pi, \theta\right)\right\}=\cos \left\{\pi \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\} বা, sin⁡(πcos⁡θ)=cos⁡(πsin⁡θ)=sin⁡(π2±πsin⁡θ)\sin (\pi \cos \theta)=\cos (\pi \sin \theta)=\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta\right) বা, πcos⁡θ=π2±πsin⁡θ\pi \cos \theta=\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta বা, cos⁡θ=12±sin⁡θ\cos \theta=\frac{1}{2} \pm \sin \theta বা, cos⁡θ±sin⁡θ=12\cos \theta \pm \sin \theta=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡θ±12sin⁡θ=122[12+12=2\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \quad\left[\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\right. দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡π4cos⁡θ±sin⁡π4sin⁡θ=122\cos \frac{\pi}{4} \cos \theta \pm \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা. cos⁡(θ±π4)=122\cos \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡2(θ±π4)=18\cos^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8} [বর্গ করে| বা. sec⁡2(θ±π4)=8\sec^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=8 বা. 1+tan⁡2(θ±π4)=81+\tan^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=8 বা, tan⁡2(θ±π4)=7\tan^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=7 বা. tan⁡(θ±π4)=7\tan \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{7} বা, θ±π4=tan⁡−17\theta \pm \frac{\pi}{4}=\tan^{-1} \sqrt{7} বা, θ±π4=cot⁡−117\theta \pm \frac{\pi}{4}=\cot^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} ∴θ=±π4+cot⁡−117\therefore \quad \theta= \pm \frac{\pi}{4}+\cot^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} (প্রমাণিত)

উত্তর

গ দেওয়া আছে, φ(θ)=sin⁡θ\varphi(\theta)=\sin \theta এবং ψ(θ)=cos⁡θ\psi(\theta)=\cos \theta এখানে, ψ(6θ)+ψ(4θ)=φ(3θ)+φ(θ)\psi(6 \theta)+\psi(4 \theta)=\varphi(3 \theta)+\varphi(\theta) বা, cos⁡6θ+cos⁡4θ=sin⁡3θ+sin⁡θ\cos 6 \theta+\cos 4 \theta=\sin 3 \theta+\sin \theta বা, 2cos⁡(6θ+4θ2)⋅cos⁡(6θ−4θ2)=2sin⁡3θ+θ2cos⁡3θ−θ22 \cos \left(\frac{6 \theta+4 \theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{6 \theta-4 \theta}{2}\right)=2 \sin \frac{3 \theta+\theta}{2} \cos \frac{3 \theta-\theta}{2} বা, cos⁡5θ⋅cos⁡θ=sin⁡2θ⋅cos⁡θ\cos 5 \theta \cdot \cos \theta=\sin 2 \theta \cdot \cos \theta বা, cos⁡θ(cos⁡5θ−sin⁡2θ)=0\cos \theta(\cos 5 \theta-\sin 2 \theta)=0 হয়, cos⁡θ=0\cos \theta=0 ∴θ=(2n+1)π2\therefore \quad \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡5θ−sin⁡2θ=0\cos 5 \theta-\sin 2 \theta=0 বा, cos⁡5θ=sin⁡2θ=cos⁡(π2−2θ)\cos 5 \theta=\sin 2 \theta=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) বা, 5θ=2nπ±(π2−2θ)5 \theta=2 n \pi \pm\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) যেখানেn∈Zn \in \mathbb{Z} বा, 10θ=4nπ±(π−4θ)10 \theta=4 n \pi \pm(\pi-4 \theta) (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, 10θ=4nπ+π−4θ10 \theta=4 n \pi+\pi-4 \theta বা, 10θ+4θ=(4n+1)π10 \theta+4 \theta=(4 n+1) \pi বা, 14θ=(4n+1)π14 \theta=(4 n+1) \pi ∴θ=(4n+1)π14\therefore \quad \theta=(4 n+1) \frac{\pi}{14} (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, 10θ=4nπ−π+4θ10 \theta=4 n \pi-\pi+4 \theta বা, 10θ−4θ=(2n−1)π10 \theta-4 \theta=(2 n-1) \pi বা, 60=(4n−1)π60=(4 n-1) \pi ∴θ=(4n−1)π6\therefore \quad \theta=(4 n-1) \frac{\pi}{6} নির্ণেয় সমাধান : θ=(2n+1)π2,(4n+1)π14,(4n−1)π6\theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2},(4 n+1) \frac{\pi}{14},(4 n-1) \frac{\pi}{6}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন