Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধি পরিমাণ [গণিত]

উত্তর: মনে করি, [গণিত] ও [গণিত] বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] বরাবর সমান মানের [গণিত] বল ক্রিয়ারত আছে এবং তাদের লব্ধি R বল OX এর সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। [চিত্র] OX বরাবর এবং এর উপর লম্ব রেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] লব্ধি, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধি পরিমাণ

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল P এবং Q ( P > Q) দুটি বলের লব্ধি P বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে । P বলকে দ্বিগুণ করলে উক্ত কোণটি পূর্বের কোণের অর্ধেক হয়। উদ্দীপক-২ : M মানের তিনটি বল একটি বিন্দুতে এরূপভাবে কার্যরত যেন এদের দিক ত্রিভুজ ABC এর BC, CA এবং AB বাহুর সমান্তরাল।

রংপুর সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, বলদ্বয়, P=12 N,Q=5 NP=12 \mathrm{~N}, \mathrm{Q}=5 \mathrm{~N} বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ, α=45∘\alpha=45^{\circ} এবং লব্ধি = R ∴R=P2+Q2+2PQcos⁡α=(12)2+(5)2+2⋅12⋅5cos⁡45∘\therefore \mathrm{R}=\sqrt{\mathrm{P}^{2}+\mathrm{Q}^{2}+2 \mathrm{PQ} \cos \alpha}=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}+2 \cdot 12 \cdot 5 \cos 45^{\circ}} =144+25+120⋅12=253.85=15.93 N=\sqrt{144+25+120 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{253.85}=15.93 \mathrm{~N} ∴\therefore বল দুইটির লব্ধি 15.93 N

উত্তর

ধরি, P ও Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী কোণ α\alpha এবং এদের লব্ধি R. P বলের সাথে 60∘60^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, tan⁡60∘=Qsin⁡αP+Qcos⁡α\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 3=Qsin⁡αP+Qcos⁡α……(1)\sqrt{3}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \ldots\ldots (1) question image আবার, P বলকে দ্বিগুণ করলে অর্থাৎ 2P হলে লব্ধি 2P বলের সাথে 30∘30^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, tan⁡30∘=Qsin⁡α2P+Qcos⁡α\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 13=Qsin⁡α2P+Qcos⁡α……….(2)\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \ldots\ldots\ldots. (2) (1) নং কে (2) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, 313=Qsin⁡αP+Qcos⁡α÷Qsin⁡α2P+Qcos⁡α\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \div \frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} =Qsin⁡αP+Qcos⁡α×2P+Qcos⁡αQsin⁡α=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \times \frac{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha}{\mathrm{Q} \sin \alpha} বা, 3=2P+Qcos⁡αP+Qcos⁡α3=\frac{2 P+Q \cos \alpha}{P+Q \cos \alpha} বা, 3P+3Qcos⁡α=2P+Qcos⁡α………(3)3 \mathrm{P}+3 \mathrm{Q} \cos \alpha=2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha \ldots\ldots\ldots (3) বা, P=−2Qcos⁡αP=-2 Q \cos \alpha (1) নং সমীকরণে P=−2Qcos⁡αP=-2 Q \cos \alpha বসিয়ে পাই, 3=Qsin⁡α−2Qcos⁡α+Qcos⁡α\sqrt{3}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{-2 \mathrm{Q} \cos \alpha+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 3=Qsin⁡α−Qcos⁡α\sqrt{3}=\frac{Q \sin \alpha}{-Q \cos \alpha} বা, tan⁡α=−3\tan \alpha=-\sqrt{3} বা, tan⁡α=−tan⁡60∘\tan \alpha=-\tan 60^{\circ} বা, tan⁡α=tan⁡(180∘−60∘)=tan⁡120∘\tan \alpha=\tan \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)=\tan 120^{\circ} ∴α=120∘\therefore \alpha=120^{\circ} ∴\therefore \quad P Q Q বলের মধ্যবর্তী কোকের পরিমাণ 120∘120^{\circ}.

উত্তর

মনে করি, BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} ও AB\mathrm{AB} বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে OX,OY\mathrm{OX}, \mathrm{OY} ও OZ\mathrm{OZ} বরাবর সমান মানের M\mathrm{M} বল ক্রিয়ারত আছে এবং তাদের লব্ধি R বল OX এর সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে। question image OX বরাবর এবং এর উপর লম্ব রেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, Rcos⁡θ=Mcos⁡0∘+Mcos⁡(π−C)+Mcos⁡(π+B)\mathrm{R} \cos \theta=\mathrm{M} \cos 0^{\circ}+\mathrm{M} \cos (\pi-\mathrm{C})+\mathrm{M} \cos (\pi+\mathrm{B}) বা, Rcos⁡θ=M(1−cos⁡C−cos⁡B)……….(1)R \cos \theta=M(1-\cos C-\cos B) \ldots\ldots\ldots. (1) এবং Rsin⁡θ=Msin⁡0∘+Msin⁡(π−C)+Msin⁡(π+B)R \sin \theta=M \sin 0^{\circ}+M \sin (\pi-C)+M \sin (\pi+B) বা, Rsin⁡θ=M(sin⁡C−sin⁡B)……..(2)R \sin \theta=M(\sin C-\sin B) \ldots\ldots.. (2) (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, R2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=M2[(1−cos⁡C−cos⁡B)2+(sin⁡C−sin⁡B)2]\begin{aligned}R^{2}\left(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\right)= & M^{2} \\ & {\left[(1-\cos C-\cos B)^{2}+(\sin C-\sin B)^{2}\right] }\end{aligned} বা, R2=M2[1+cos⁡2C+cos⁡2B−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡Bcos⁡C+sin⁡2C+sin⁡2B−2sin⁡Bsin⁡C]R^{2}=M^{2}\left[1+\cos^{2} C+\cos^{2} B-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos B \cos C+\sin^{2} C+\sin^{2} B-2 \sin B \sin C\right] বা, R2=M2[1+cos⁡2C+sin⁡2C+cos⁡2B+sin⁡2B−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡Bcos⁡C−2sin⁡Bsin⁡C]R^{2}=M^{2}\left[1+\cos^{2} C+\sin^{2} C+\cos^{2} B+\sin^{2} B-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos B \cos C-2 \sin B \sin C\right] বা, R2=M2[1+1+1−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡(B+C)]R^{2}=M^{2}[1+1+1-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos (B+C)] বা, R2=M2[3−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡(π−A)]R^{2}=M^{2}[3-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos (\pi-A)] বা, R=M3−2cos⁡C−2cos⁡B−2cos⁡AR=M \sqrt{3-2 \cos C-2 \cos B-2 \cos A} ∴\therefore লব্ধি, R=M3−2cos⁡A−2cos⁡B−2cos⁡C\mathrm{R}=\mathrm{M} \sqrt{3-2 \cos \mathrm{A}-2 \cos \mathrm{B}-2 \cos \mathrm{C}}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : OYOY বরাবর QQ এর লম্বাংশ কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

  • ক
    00
  • খ
    152\frac{15}{2}
  • গ
    1532\frac{15 \sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    1515

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

  • ক
    775775
  • খ
    3535
  • গ
    5375 \sqrt{37}
  • ঘ
    2525

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.2.45km2.45 km প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের 73\frac{7}{3} গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন সাতারু নদী সোজাসুজি পাড়ি দেওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করল। সে অপর তীরে যাত্রা-বিন্দুর ঠিক বিপরীত স্থান হতে কত দূরত্বে ভাটিতে পৌছবে?

Dinajpur · 2017

  • ক
    0.32 km0.32 \mathrm{~km}
  • খ
    1.05 km1.05 \mathrm{~km}
  • গ
    1.50 km1.50 \mathrm{~km}
  • ঘ
    5.72 km5.72 \mathrm{~km}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.3030 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ABAB দণ্ডের AA প্রান্তে 2020 কেজি ওজন ও BB প্রান্তে PP কেজি ওজন ঝুলানো আছে। এদের লব্ধি CC বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। ACAC এর দৈর্ঘ্য 2020 মিটার হলে PP বলটির মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    10 N10 \mathrm{~N}
  • খ
    30 N30 \mathrm{~N}
  • গ
    40 N40 \mathrm{~N}
  • ঘ
    50 N50 \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—

Chittagong · 2017

  • ক
    অন্তঃকেন্দ্র
  • খ
    পরিকেন্দ্র
  • গ
    ভরকেন্দ্র
  • ঘ
    লম্বকেন্দ্র

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি বিন্দুতে 3N,5N3N, 5N ও 7N7N মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে। ক্ষুদ্রতর বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ?

Jessore · 2017

  • ক
    60∘60^{\circ}
  • খ
    120∘120^{\circ}
  • গ
    cos⁡−1(3142)\cos^{-1}\left(\frac{31}{42}\right)
  • ঘ
    cos⁡−1(1714)\cos^{-1}\left(\frac{17}{14}\right)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় OO বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, PP 'বলটির মান কত?

Dinajpur · 2017

  • ক
    43 N4 \sqrt{3} \mathrm{~N}
  • খ
    2 N2 \mathrm{~N}
  • গ
    23 N2 \sqrt{3} \mathrm{~N}
  • ঘ
    3 N\sqrt{3} \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.OO বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল  P, Q \text{ P, Q }ও R\mathbf{R} সাম্যাবস্থায় আছে। P\mathbf{P} এর মান 12N12N হলে, QQ ও RR এর মান যথাক্রমে নিচের - কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    243 N,24 N24 \sqrt{3} \mathrm{~N}, 24 \mathrm{~N}
  • খ
    24 N,243 N24 \mathrm{~N}, 24 \sqrt{3} \mathrm{~N}
  • গ
    63 N,6 N6 \sqrt{3} \mathrm{~N}, 6 \mathrm{~N}
  • ঘ
    6 N,63 N6 \mathrm{~N}, 6 \sqrt{3} \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.10N10N ও 8N8N মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান কোনটি?

Barisal · 2017

  • ক
    164 N164 \mathrm{~N}^{}
  • খ
    18 N18 \mathrm{~N}
  • গ
    164 N\sqrt{164} \mathrm{~N}
  • ঘ
    2 N2 \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.11 N11 \mathrm{~N} ও 13N13 N বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?

Jessore · 2017

  • ক
    26 N2 \sqrt{6} \mathrm{~N}
  • খ
    290 N\sqrt{290} \mathrm{~N}
  • গ
    24N24 N
  • ঘ
    290 N290 \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.4 N4 \mathrm{~N} ও 4 N4 \mathrm{~N} মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    2 N2 \mathrm{~N}
  • খ
    5.21 N5.21 \mathrm{~N}
  • গ
    7.21 N7.21 \mathrm{~N}
  • ঘ
    10 N10 \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.PP ও 25N25N মানের দুইটি বলের লব্ধি 20N20N যা. PP এর সাথে লম্বভাবে স্থাপিত হলে PP এর মান কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    10 N10 \mathrm{~N}
  • খ
    20 N20 \mathrm{~N}
  • গ
    25 N25 \mathrm{~N}
  • ঘ
    15 N15 \mathrm{~N}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] বরাবর [গণিত] এর লম্বাংশ কত নিউটন?নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?[গণিত] প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের [গণিত] গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন[গণিত] মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট [গণিত] দণ্ডের [গণিত] প্রান্তে [গণিত] কেজি ওজন ও [গণিত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—একটি বিন্দুতে [গণিত] ও [গণিত] মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেচিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় [গণিত] বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, [গণিত] 'বলটির মান [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল [গণিত] ও [গণিত] সাম্যাবস্থায় আছে। [গ[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের[গণিত] ও [গণিত] বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের [গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বলের লব্ধি [গণিত] যা. [গণিত] এর সাথে লম্বভাবে স্থাপি

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন