Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের বল তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করলে এবং তাদের লব্ধি ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে P : Q: R কে a, b, c এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] ত্রিভুজের [গণিত] কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, [গণিত] হলো [গণিত] ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। আবার, [গণিত] ত্রিভুজের [গণিত] বিন্দুতে যথাক্রমে [গণিত] তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। এখন, [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়ারত [গণিত] ও [গণিত] সদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির লব্ধি [গণিত] রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার বলত্রয়ের লব্ধি [গণিত] , [গণিত] বিন্দুতে এবং [গণিত] বর্লটি [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং( [গণিত] বলটি [গণিত] তথা [গণিত] রেখাস্প্থ কোনবিন্দুতে ক্রিয়া করবে। অতএ্রব [গণিত] বলটি [গণিত] ও [গণিত] এর ছেদ বিন্দু [গণিত] তে ক্রিয়া করবে। এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] ও [গণিত] নং হতে পাই, [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, [গণিত] অতএব, [গণিত] . (দেখানো হলো) [বি: দ্র: [গণিত] ও [গণিত] এর পরিবর্তে যথাক্রমে [গণিত] হবে]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপকের বল তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের সমান্তরালভাবে ক্রিয়া…

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

মনে করি, 77 কেজি ও 88 কেজি ওজনের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এখানে, বলদ্বয়ের লব্ধি 1313 কিলোগ্রাম-ওজন ∴\therefore 132=72+82+2.7.8cos⁡α13^2=7^2+8^2+2.7 .8 \cos \alpha বা. 169=49+64+112cos⁡α169=49+64+112 \cos \alpha বা, 169−113=112cos⁡α169-113=112 \cos \alpha বা, 56=112cos⁡α56=112 \cos \alpha বা, cos⁡α=56112=12=cos⁡60∘\cos \alpha=\frac{56}{112}=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ} ∴α=60∘\therefore \quad \alpha=60^{\circ} খরি, বলদ্বয়ের লব্ধি 77 কিলোগ্রাম ওজনের ক্রিয়া রেখার সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে। ∴tan⁡θ=8sin⁡60∘7+8cos⁡60∘=8⋅327+8⋅12=4311∴θ=tan⁡−1(4311)\begin{aligned}& \therefore \quad \tan \theta=\frac{8 \sin 60^{\circ}}{7+8 \cos 60^{\circ}}=\frac{8 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{7+8 \cdot \frac{1}{2}}=\frac{4 \sqrt{3}}{11} \\& \therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{11}\right)\end{aligned} নির্ণেয় কোণ, θ=tan⁡−1(4311)\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{11}\right).

উত্তর

মনে করি, ABCABC ত্রিভুজের A,B,CA, B, C কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর II বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, II হলো ABCABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। আবার, ABCABC ত্রিভুজের A,B,CA, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে P1,P2,P3\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। এখন, BB ও CC বিন্দুতে ক্রিয়ারত P2\mathrm{P}_2 ও P3\mathrm{P}_3সদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির লব্ধি (P2+P3),BC\left(\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3\right), \mathrm{BC} রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার বলত্রয়ের লব্ধি (P1+P2+P3)\left(\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3\right), II বিন্দুতে এবং P1\mathrm{P}_1 বর্লটি AA বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং( P2+P3)\left.\mathbf{P}_2+\mathbf{P}_3\right) বলটি AIAI তথা AIDAID রেখাস্প্থ কোনবিন্দুতে ক্রিয়া করবে। অতএ্রব (P2+P3)\left(\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3\right) বলটি BCBC ও ADAD এর ছেদ বিন্দু DD তে ক্রিয়া করবে। এখানে, P2×BD=P3×CD\mathrm{P}_2 \times \mathrm{BD}=\mathrm{P}_3 \times \mathrm{CD} বা, P2P3=CDBD\frac{P_2}{P_3}=\frac{C D}{B D}……...(1)\ldots\ldots...(1) প্রশ্নমতে, AD রেখা ∠A\angle \mathrm{A} কোণের সমদ্বিখণ্ডক সুতরাং BDAB=CDAC\frac{B D}{A B}=\frac{C D}{A C} বা, CDBD=ACAB=bc\frac{C D}{B D}=\frac{A C}{A B}=\frac{b}{c}……...(2)\ldots\ldots...(2) (1)(1) ও (2)(2)নং হতে পাই, P2P3=bc\frac{\mathrm{P}_2}{\mathrm{P}_3}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} অর্থাৎ P2 b=P3c\frac{\mathrm{P}_2}{\mathrm{~b}}=\frac{\mathrm{P}_3}{\mathrm{c}} অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, Pia=P3c\frac{P_i}{a}=\frac{P_3}{c} অতএব, P1a=P2b=P3c∴P1:P2:P3=a:b:c\frac{P_1}{a}=\frac{P_2}{b}=\frac{P_3}{c} \therefore P_1: P_2: P_3=a: b: c. (দেখানো হলো) [বি: দ্র: P1,P2P_1, P_2 ও P3P_3 এর পরিবর্তে যথাক্রমে P,Q,RP, Q, R হবে]

উত্তর

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র OO হতে P,Q,RP, Q, R বनত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। নামির উপপাদ্য অনুসারে, Psin⁡∠BOC=Qsin⁡∠AOC=Rsin⁡∠AOB\frac{P}{\sin \angle B O C}=\frac{Q}{\sin \angle A O C}=\frac{R}{\sin \angle A O B}…………(i)\ldots\ldots\ldots\ldots(i) △BOC\triangle \mathrm{BOC}-এ ∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘\angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}=180^{\circ} বা, ∠BOC+B2+C2=180∘[∵ΔABC\angle \mathrm{BOC}+\frac{\mathrm{B}}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}=180^{\circ}[\because \Delta \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র O] বা, ∠BOC=180∘−12( B+C)\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}) বা, ∠BOC=180∘−12(180∘−A)=90∘+A2\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\mathrm{A}\right)=90^{\circ}+\frac{\mathrm{A}}{2} অনুরূপভাবে, ∠AOC=90∘+B2\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}+\frac{\mathrm{B}}{2} এবং ∠AOB=90∘+C2\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}+\frac{\mathrm{C}}{2} ∴\therefore \quad (i)(i) নং হতে পাই, Psin⁡(90∘+A2)=Qsin⁡(90∘+B2)=Rsin⁡(90∘+C2)\frac{P}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{A}{2}\right)}=\frac{Q}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{B}{2}\right)}=\frac{R}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{C}{2}\right)} বা, Pcos⁡A2=Qcos⁡B2=Rcos⁡C2\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}} বা, P2cos⁡2A2=Q2cos⁡2B2=R2cos⁡2C2\frac{P^2}{\cos^2 \frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{\cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{R^2}{\cos^2 \frac{C}{2}} বা, P22cos⁡2 A2=Q22cos⁡2 B2=R22cos⁡2C2\frac{\mathrm{P}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{~A}}{2}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{~B}}{2}}=\frac{\mathrm{R}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{C}}{2}} বা, P21+cos⁡A=Q21+cos⁡B=R21+cos⁡C\frac{P^2}{1+\cos A}=\frac{Q^2}{1+\cos B}=\frac{R^2}{1+\cos C} বা, P21+b2+c2−a22bc=Q21+c2+a2−b22ca=R21+a2+b2−c22ab\frac{P^2}{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}}=\frac{Q^2}{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}}=\frac{R^2}{1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}} বা,P22bc+b2+c2−a22bc=Q22ca+c2+a2−b22ca=R22ab+a2+b2−c22ab\frac{\mathbf{P}^2}{\frac{2 b c+b^2+c^2-a^2}{2 b c}}=\frac{\mathbf{Q}^2}{\frac{2 c a+c^2+a^2-b^2}{2 c a}}=\frac{R^2}{\frac{2 a b+a^2+b^2-c^2}{2 a b}} বা, P2a{(b+c)2−a2}=Q2b{(c+a)2−b2}=R2c{(a+b)2−c2}\frac{P^2}{a\left\{(b+c)^2-a^2\right\}}=\frac{Q^2}{b\left\{(c+a)^2-b^2\right\}}=\frac{R^2}{c\left\{(a+b)^2-c^2\right\}} বা, \frac{P^2}{a(a+b+c}(b+c-a)}=\frac{Q^2}{b(a+b+c}(c+a-b)} =\frac{R^2}{c(a+b+c}(a+b-c)} ∴P2a(b+c−a)=Q2b(c+a−b)=R2c(a+b−c)\therefore \quad \frac{P^2}{a(b+c-a)}=\frac{Q^2}{b(c+a-b)}=\frac{R^2}{c(a+b-c)} বা, P2a(a+b+c−2a)=Q2b(a+b+c−2b)=R2c(a+b+c−2c)\frac{P^2}{a(a+b+c-2 a)}=\frac{Q^2}{b(a+b+c-2 b)}=\frac{R^2}{c(a+b+c-2 c)} বা, P2a(2s−2a)=Q2b(2s−2b)=R22c(s−2c)\frac{P^2}{a(2 s-2 a)}=\frac{Q^2}{b(2 s-2 b)}=\frac{R^2}{2 c(s-2 c)} [ত্রিভুজের পরিসীমা 2 s=a+b+c2 \mathrm{~s}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} ] বা, P22a(s−a)=Q22b(s−b)=R22c(s−c)\frac{P^2}{2 a(s-a)}=\frac{Q^2}{2 b(s-b)}=\frac{R^2}{2 c(s-c)} বা, P2a(s−a)=Q2b(s−b)=R2c(s−c)\frac{P^2}{a(s-a)}=\frac{Q^2}{b(s-b)}=\frac{R^2}{c(s-c)} বা, P2:Q2:R2=a(s−a):b(s−b):c(s−c)P^2: Q^2: R^2=a(s-a): b(s-b): c(s-c). (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যাচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : OYOY বরাবর QQ এর লম্বাংশ কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.2.45km2.45 km প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের 73\frac{7}{3} গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন সাতারু নদী সোজাসুজি পাড়ি দেওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করল। সে অপর তীরে যাত্রা-বিন্দুর ঠিক বিপরীত স্থান হতে কত দূরত্বে ভাটিতে পৌছবে?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.3030 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ABAB দণ্ডের AA প্রান্তে 2020 কেজি ওজন ও BB প্রান্তে PP কেজি ওজন ঝুলানো আছে। এদের লব্ধি CC বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। ACAC এর দৈর্ঘ্য 2020 মিটার হলে PP বলটির মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি বিন্দুতে 3N,5N3N, 5N ও 7N7N মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে। ক্ষুদ্রতর বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় OO বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, PP 'বলটির মান কত?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.OO বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল  P, Q \text{ P, Q }ও R\mathbf{R} সাম্যাবস্থায় আছে। P\mathbf{P} এর মান 12N12N হলে, QQ ও RR এর মান যথাক্রমে নিচের - কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.10N10N ও 8N8N মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান কোনটি?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.11 N11 \mathrm{~N} ও 13N13 N বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.4 N4 \mathrm{~N} ও 4 N4 \mathrm{~N} মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.PP ও 25N25N মানের দুইটি বলের লব্ধি 20N20N যা. PP এর সাথে লম্বভাবে স্থাপিত হলে PP এর মান কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] বরাবর [গণিত] এর লম্বাংশ কত নিউটন?নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?[গণিত] প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের [গণিত] গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন[গণিত] মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট [গণিত] দণ্ডের [গণিত] প্রান্তে [গণিত] কেজি ওজন ও [গণিত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—একটি বিন্দুতে [গণিত] ও [গণিত] মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেচিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় [গণিত] বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, [গণিত] 'বলটির মান [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল [গণিত] ও [গণিত] সাম্যাবস্থায় আছে। [গ[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের[গণিত] ও [গণিত] বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের [গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বলের লব্ধি [গণিত] যা. [গণিত] এর সাথে লম্বভাবে স্থাপি

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
উদ্দীপকের বল তিনটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের সমান্তরালভাবে ক্রিয়া… | Prosthuti