Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] এর অন্তঃকেন্দ্র [গণিত] হতে [গণিত] এবং [গণিত] बরাবর [গণিত] এবং [গণিত] বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। সুতরাং লামির উপপাদ্য অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] এর অন্তঃকেন্দ্র [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] এবং [গণিত] . [গণিত] (i) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো) [বি.দ্র: [গণিত] এবং [গণিত] হবে]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপকে হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

নিচের চিত্রটি লক্ষ্য কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও : চিত্রে, A,B,CA, B, C কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডক OO বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, বল দুইটি P,Q(P<Q)P, Q (P < Q) এবং বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ α\alpha বৃহত্তম বল, Q=10NQ = 10N ক্ষুদ্রতম বল লব্ধির সাথে লম্ব হলে θ=90∘\theta=90^{\circ} হবে এবং দুটি বলের অন্তর্ভুক্ত কোণ α=120∘\alpha=120^{\circ} হবে। আমরা জানি, tan⁡θ=Qsin⁡αP+Qcos⁡α\tan \theta=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, tan⁡90∘=Qsin⁡αP+Qcos⁡α\tan 90^{\circ}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, ∞=10=Qsin⁡αP+Qcos⁡α[tan⁡90∘=∞]\infty=\frac{1}{0}=\frac{Q \sin \alpha}{P+Q \cos \alpha}\left[\tan 90^{\circ}=\infty\right] বা, P+Qcos⁡α=0P+Q \cos \alpha=0 বা, P+10×cos⁡120∘=0P+10 \times \cos 120^{\circ}=0 বা, P+10×(−12)=0\mathrm{P}+10 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=0 ∴P=5N\therefore \quad P=5N ∴\therefore লব্ধির মান R=P2+Q2+2PQcos⁡α\mathrm{R}=\sqrt{\mathrm{P}^2+\mathrm{Q}^2+2 \mathrm{PQ} \cos \alpha} =52+102+2⋅5⋅10×(−12)=125−50=75=53 N\begin{aligned} & =\sqrt{5^2+10^2+2 \cdot 5 \cdot 10 \times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ & =\sqrt{125-50}=\sqrt{75}=5 \sqrt{3} \mathrm{~N}\end{aligned} নির্ণেয় লব্ধির মান R=53 N\mathrm{R}=5 \sqrt{3} \mathrm{~N}.

উত্তর

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র OO হতে OA,OBOA, OB এবং OCOC बরাবর P1,P2P_1, P_2 এবং P3P_3 বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। সুতরাং লামির উপপাদ্য অনুসারে, P1sin⁡∠BOC=P2sin⁡∠AOC=P3sin⁡∠AOB\frac{P_1}{\sin \angle B O C}=\frac{P_2}{\sin \angle A O C}=\frac{P_3}{\sin \angle A O B}……...(i)\ldots\ldots...(i) △BOC−এ,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180∘\triangle \mathrm{BOC}-এ, \angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}=180^{\circ} বা, ∠BOC+B2+C2=180∘[∵O,△ABC\angle \mathrm{BOC}+\frac{\mathrm{B}}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}=180^{\circ}[\because \mathrm{O}, \triangle \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র ]] বা, ∠BOC=180∘−12( B+C)\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}) বা, ∠BOC=180∘−12(180∘−A)\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\mathrm{A}\right) বা, ∠BOC=180∘−90∘+A2=90∘+A2\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{\mathrm{A}}{2}=90^{\circ}+\frac{\mathrm{A}}{2} অনুরূপভাবে, ∠AOC=90∘+B2\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}+\frac{\mathrm{B}}{2} এবং ∠AOB=90∘+C2\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}+\frac{\mathrm{C}}{2}. ∴\therefore \quad (i) নং হতে পাই, P1sin⁡(90∘+A2)=P2sin⁡(90∘+B2)=P3sin⁡(90∘+C2)\frac{P_1}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{A}{2}\right)}=\frac{P_2}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{B}{2}\right)}=\frac{P_3}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{C}{2}\right)} বা, P1cos⁡A2=P2cos⁡B2=P3cos⁡C2\frac{P_1}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{P_2}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{P_3}{\cos \frac{C}{2}} বা, P122cos⁡2A2=P222cos⁡2B2=P322cos⁡2C2\frac{P_1{ }^2}{2 \cos^2 \frac{A}{2}}=\frac{P_2{ }^2}{2 \cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{P_3{ }^2}{2 \cos^2 \frac{C}{2}} বা, P121+cos⁡A=P221+cos⁡B=P321+cos⁡C\frac{\mathrm{P}_1{ }^2}{1+\cos \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{P}_2{ }^2}{1+\cos \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{P}_3{ }^2}{1+\cos \mathrm{C}} ∴P12:P22:P32=(1+cos⁡A):(1+cos⁡B):(1+cos⁡C)\therefore \quad P_1^2: P_2^2: P_3^2=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos \mathrm{C}). (দেখানো হলো) [বি.দ্র: P1=P,Q1=Q\mathrm{P}_1=\mathrm{P}, \mathrm{Q}_1=\mathrm{Q} এবং R1=R\mathrm{R}_1=\mathrm{R} হবে]

উত্তর

মনে করি, ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ।। আবার, ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R সদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির লব্ধি (Q + R), BC রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার বলত্রয়ের লব্ধি (P + Q + R), I বিন্দুতে এবং P বলটি A বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং (Q + R) বলটি AI তথা AID রেখাস্থ কোনবিন্দুতে ক্রিয়া করবে। অতএব (Q + P) বলটি BC ও AD এর ছেদ বিন্দু D তে ক্রিয়া করবে। এখানে, Q×BD=R×CD\mathrm{Q} \times \mathrm{BD}=\mathrm{R} \times \mathrm{CD} বা, QR=CDBD\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}……...(1)\ldots\ldots...(1) প্রশ্নমতে, AD রেখা ∠A\angle \mathrm{A} কোণের সমদ্বিখণ্ডক । সুতরাং BDAB=CDAC\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}} বা, CDBD=ACAB=bc\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}……...(2)\ldots\ldots...(2) (1)(1) ও (2)(2)নং হতে পাই, QR=bc\frac{Q}{R}=\frac{b}{c} অর্থাৎ Qb≑Rc\frac{Q}{b} \doteqdot \frac{R}{c} অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, Pa=Rc\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}} অতএব, Pa=Qb=Rc\frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c} ∴P:Q:R=a:b:c\therefore \mathrm{P}: \mathrm{Q}: \mathrm{R}=\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যাশহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : OYOY বরাবর QQ এর লম্বাংশ কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.2.45km2.45 km প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের 73\frac{7}{3} গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন সাতারু নদী সোজাসুজি পাড়ি দেওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করল। সে অপর তীরে যাত্রা-বিন্দুর ঠিক বিপরীত স্থান হতে কত দূরত্বে ভাটিতে পৌছবে?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.3030 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ABAB দণ্ডের AA প্রান্তে 2020 কেজি ওজন ও BB প্রান্তে PP কেজি ওজন ঝুলানো আছে। এদের লব্ধি CC বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। ACAC এর দৈর্ঘ্য 2020 মিটার হলে PP বলটির মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি বিন্দুতে 3N,5N3N, 5N ও 7N7N মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে। ক্ষুদ্রতর বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় OO বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, PP 'বলটির মান কত?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.OO বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল  P, Q \text{ P, Q }ও R\mathbf{R} সাম্যাবস্থায় আছে। P\mathbf{P} এর মান 12N12N হলে, QQ ও RR এর মান যথাক্রমে নিচের - কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.10N10N ও 8N8N মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান কোনটি?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.11 N11 \mathrm{~N} ও 13N13 N বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.4 N4 \mathrm{~N} ও 4 N4 \mathrm{~N} মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.PP ও 25N25N মানের দুইটি বলের লব্ধি 20N20N যা. PP এর সাথে লম্বভাবে স্থাপিত হলে PP এর মান কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] বরাবর [গণিত] এর লম্বাংশ কত নিউটন?নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?[গণিত] প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের [গণিত] গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন[গণিত] মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট [গণিত] দণ্ডের [গণিত] প্রান্তে [গণিত] কেজি ওজন ও [গণিত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—একটি বিন্দুতে [গণিত] ও [গণিত] মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেচিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় [গণিত] বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, [গণিত] 'বলটির মান [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল [গণিত] ও [গণিত] সাম্যাবস্থায় আছে। [গ[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের[গণিত] ও [গণিত] বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের [গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বলের লব্ধি [গণিত] যা. [গণিত] এর সাথে লম্বভাবে স্থাপি

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন