Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত a ও b (a > b) বলের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে, তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, a ও b বলদ্বয় যথাক্রমে OA ও OB বরাবর [গণিত] কোণে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি R, OA রেখার সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। [গণিত] হলে [গণিত] এখন, [গণিত] ত্রিভুজ হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই, [গণিত] ... (i) ১ম ও ২য় অনুপাত হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

যদি কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত a ও b (a > b) বলের লব্ধি তাদের অন্তর্গত…

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2023

উত্তর

question image মনে করি, a ও b বলদ্বয় যথাক্রমে OA ও OB বরাবর 3α3\alpha কোণে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি R, OA রেখার সাথে α\alpha কোণ উৎপন্ন করে। ∴∠AOC=α\therefore \angle \mathrm{AOC}=\alpha হলে ∠BOC=2α=∠OCA\angle \mathrm{BOC}=2 \alpha=\angle \mathrm{OCA} এখন, AOC\mathrm{AOC} ত্রিভুজ হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই, asin⁡2α=bsin⁡α=Rsin⁡(π−3α)\frac{\mathrm{a}}{\sin 2 \alpha}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{\sin (\pi-3 \alpha)} …...(i)\ldots... (i) ১ম ও ২য় অনুপাত হতে পাই, a2sin⁡αcos⁡α=bsin⁡α\frac{a}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{b}{\sin \alpha} বা, a2cos⁡α=b\frac{a}{2 \cos \alpha}=b বা, cos⁡α=a2b\cos \alpha=\frac{a}{2 b} ∴α=cos⁡−1(a2b)\therefore \quad \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{a}{2 b}\right) ∴\therefore বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ =3α=3cos⁡−1(a2 b)=3 \alpha=3 \cos^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{~b}}\right).

উত্তর

ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র I বিন্দুতে IA, IB, IC বরাবার ক্রিয়ারত যথাক্রমে P, Q, R বলসমূহ সাম্যাবস্থায় আছে। কাজেই লামির সূত্র অনুযায়ী, Psin⁡BIC=Qsin⁡AIC=Rsin⁡AIB\frac{P}{\sin \mathrm{BIC}}=\frac{Q}{\sin \mathrm{AIC}}=\frac{R}{\sin \mathrm{AIB}}. ... (i) এখানে, ∠ABI=∠CBI=B2\angle \mathrm{ABI}=\angle \mathrm{CBI}=\frac{B}{2} [যেহেতু, I অন্তঃকেন্দ্র] ∠BCI=∠ACI=C2\angle \mathrm{BCI}=\angle \mathrm{ACI}=\frac{\mathrm{C}}{2} ∠CAI=∠BAI=A2\angle \mathrm{CAI}=\angle \mathrm{BAI}=\frac{\mathrm{A}}{2} ∴∠BIC=π−B2−C2=π−12( B+C)\therefore \angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{\mathrm{B}}{2}-\frac{\mathrm{C}}{2}=\pi-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}) question image =π−12(π−A)=π2+A2=\pi-\frac{1}{2}(\pi-A)=\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2} অনুরূপভাবে, ∠AIB=π2+C2\angle \mathrm{AIB}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2} এবং ∠AIC=π2+B2\angle \mathrm{AIC}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{B}}{2} ∴\therefore (i) নং হতে Psin⁡(π2+A2)=Qsin⁡(π2+B2)=Rsin⁡(π2+C2)\frac{P}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2}\right)}=\frac{Q}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\frac{R}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{C}{2}\right)} বা, Pcos⁡A2=Qcos⁡B2=Rcos⁡C2\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}} বা, P:Q:R=cos⁡A2:cos⁡B2:cos⁡C2P: Q: R=\cos \frac{A}{2}: \cos \frac{B}{2}: \cos \frac{C}{2}, ∴P:Q:R=sin⁡(π2−A2):sin⁡(π2−B2):sin⁡(π2−C2)\therefore P: Q: R=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right). [∵sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ]\left[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\right] (দেখানো হলো)

উত্তর

মনেকরি, ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং বর্ধিত AO রেখা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q এবং R এর লব্ধি BC রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, তিনটি বলের লব্ধি O বিন্দুতে এবং U বলটি A বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, V এবং W এর লব্ধি BC এবং AOD রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু D তে ক্রিয়ারত হবে। ∴VW=CDBD\therefore \quad \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}} ……(1)\ldots\ldots (1) এখন, BOD\mathrm{BOD} ত্রিভুজে BDsin⁡BOD=BOsin⁡BDO\frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{BOD}}=\frac{\mathrm{BO}}{\sin \mathrm{BDO}} এবং COD\mathrm{COD} ত্রিভুজে CDsin⁡COD=COsin⁡CDO\frac{\mathrm{CD}}{\sin \mathrm{COD}}=\frac{\mathrm{CO}}{\sin \mathrm{CDO}} কিন্তু BO=CO\mathrm{BO}=\mathrm{CO} এবং sin⁡BDO=sin⁡CDO[∵BDO=π−CDO]\sin \mathrm{BDO}=\sin \mathrm{CDO}[\because \mathrm{BDO}=\pi-\mathrm{CDO}] ∴BDsin⁡BOD=CDsin⁡COD\therefore \quad \frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{BOD}}=\frac{\mathrm{CD}}{\sin \mathrm{COD}} বা, sin⁡CODsin⁡BOD=CDBD\frac{\sin C O D}{\sin B O D}=\frac{C D}{B D} বা, CDBD=sin⁡CODsin⁡BOD\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\sin \mathrm{COD}}{\sin \mathrm{BOD}} …….(2)\ldots\ldots. (2) বা, VW=sin⁡CODsin⁡BOD\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\sin \mathrm{COD}}{\sin \mathrm{BOD}} [(1) নং হতে ] বা, VW=sin⁡(180∘−COA)sin⁡(180∘−AOB)=sin⁡COAsin⁡AOB\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\sin \left(180^{\circ}-\mathrm{COA}\right)}{\sin \left(180^{\circ}-\mathrm{AOB}\right)}=\frac{\sin \mathrm{COA}}{\sin \mathrm{AOB}} বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ বলে ∠COA=2 B\angle \mathrm{COA}=2 \mathrm{~B} এবং ∠AOB=2C\angle \mathrm{AOB}=2 \mathrm{C} ∴VW=sin⁡2Bsin⁡2C=2sin⁡B⋅cos⁡B2sin⁡C⋅cos⁡C\therefore \frac{V}{W}=\frac{\sin 2 B}{\sin 2 C}=\frac{2 \sin B \cdot \cos B}{2 \sin C \cdot \cos C} বা, VW=bcos⁡Bccos⁡C……(3)[∵asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C]\frac{V}{W}=\frac{b \cos B}{c \cos C} \ldots \ldots (3)\left[\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\right] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, UV=acos⁡Abcos⁡B……..(4)\frac{U}{V}=\frac{a \cos A}{b \cos B} \ldots\ldots.. (4) সুতরাং (3) ও (4) নং সমীকরণ হতে পাই, U:V:W=acos⁡A:bcos⁡B:cos⁡C\mathrm{U}: \mathrm{V}: \mathrm{W}=\operatorname{acos} \mathrm{A}: \mathrm{b} \cos \mathrm{B}: \cos \mathrm{C}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যাBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : OYOY বরাবর QQ এর লম্বাংশ কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.2.45km2.45 km প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের 73\frac{7}{3} গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন সাতারু নদী সোজাসুজি পাড়ি দেওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করল। সে অপর তীরে যাত্রা-বিন্দুর ঠিক বিপরীত স্থান হতে কত দূরত্বে ভাটিতে পৌছবে?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.3030 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ABAB দণ্ডের AA প্রান্তে 2020 কেজি ওজন ও BB প্রান্তে PP কেজি ওজন ঝুলানো আছে। এদের লব্ধি CC বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। ACAC এর দৈর্ঘ্য 2020 মিটার হলে PP বলটির মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.একটি বিন্দুতে 3N,5N3N, 5N ও 7N7N মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করেছে। ক্ষুদ্রতর বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.চিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় OO বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, PP 'বলটির মান কত?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.OO বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল  P, Q \text{ P, Q }ও R\mathbf{R} সাম্যাবস্থায় আছে। P\mathbf{P} এর মান 12N12N হলে, QQ ও RR এর মান যথাক্রমে নিচের - কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.10N10N ও 8N8N মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধির মান কোনটি?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.11 N11 \mathrm{~N} ও 13N13 N বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.4 N4 \mathrm{~N} ও 4 N4 \mathrm{~N} মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের লব্ধি কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.PP ও 25N25N মানের দুইটি বলের লব্ধি 20N20N যা. PP এর সাথে লম্বভাবে স্থাপিত হলে PP এর মান কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] বরাবর [গণিত] এর লম্বাংশ কত নিউটন?নিচের উদ্দীপক হতে প্রশ্নের উত্তর দাও : R এর মান কত নিউটন?[গণিত] প্রস্থের নদীতে পানির স্রোতের [গণিত] গুণ বেগে ও স্রোতের সাথে লম্বভাবে একজন[গণিত] মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট [গণিত] দণ্ডের [গণিত] প্রান্তে [গণিত] কেজি ওজন ও [গণিত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু হলো—একটি বিন্দুতে [গণিত] ও [গণিত] মানের তিনটি বল ভিন্ন ভিন্ন রেখা বরাবর ক্রিয়ারত থেচিত্রে প্রদর্শিত বলত্রয় [গণিত] বিন্দুতে সাম্যাবস্থায় থাকলে, [গণিত] 'বলটির মান [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমতলীয় তিনটি বল [গণিত] ও [গণিত] সাম্যাবস্থায় আছে। [গ[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে তাদের[গণিত] ও [গণিত] বলদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত হবে?[গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বল এক বিন্দুতে পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করলে এদের [গণিত] ও [গণিত] মানের দুইটি বলের লব্ধি [গণিত] যা. [গণিত] এর সাথে লম্বভাবে স্থাপি

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন