Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর মাन নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] এখন, [গণিত] নির্ণেয় মান : [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

এর মাन নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

g(x)=ex\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}.

Sylhet · 2023

উত্তর

y=sin⁡x………(1)y=\sin x \ldots \ldots \ldots(1) (1) নং 3x3 \mathrm{x} অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫0πsin⁡xdx=\int_{0}^{\pi} \sin x d x =−[cos⁡x]0π=-[\cos x]_{0}^{\pi} =−(cos⁡π−cos⁡0)=-(\cos \pi-\cos 0) =−(−1−1)=-(-1-1) =2=2 বর্গ একক। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=ex\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} - ∫g(2x)=e2x{g(x)−1}{x)g(2x )+1}dx\int \frac{\mathrm{g}(2 \mathrm{x})=\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}}{\{\mathrm{g}(\mathrm{x})-1\}\{\mathrm{x})} \mathrm{g(2 \textrm{x } ) + 1 \}} \mathrm{dx} =∫e2x(ex−1)(e2x+1)dx=\int \frac{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+1\right)} \mathrm{dx} =∫ex⋅ex(ex−1){(ex)2+1}dz=\int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1\right)\left\{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)^{2}+1\right\}} \mathrm{dz} =∫z(z−1)(z2+1)dz=\int \frac{\mathrm{z}}{(\mathrm{z}-1)\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)} \mathrm{dz} ধরি, ex=z\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\mathrm{z} ∴exdx=dz\therefore \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{dz} ধরি, z(z−1)(z2+1)=Az−1+Bz+Cz2+1\frac{\mathrm{z}}{(\mathrm{z}-1)\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{z}-1}+\frac{\mathrm{Bz}+\mathrm{C}}{\mathrm{z}^{2}+1}
…..(1)(1)\ldots.. (1) (1)
নং এর উভয়পক্ষকে (z−1)(z2+1)(\mathrm{z}-1)\left(\mathrm{z}^{2}+1\right) দ্বারা গুণ করে পাই, z=A(z2+1)+(Bz+C)(z−1)\mathrm{z}=\mathrm{A}\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)+(\mathrm{Bz}+\mathrm{C})(\mathrm{z}-1)
…..(2)(2)\ldots.. (2) (2)
নং এz=1এ \mathrm{z}=1 বসিয়ে পাই, 1=2A1=2 A বা, A=12\mathrm{A}=\frac{1}{2} (2) নং এর উভয়পক্ষ হতে z2z^{2} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A+B=0A+B=0 বা, 12+B=0\frac{1}{2}+B=0 ∴B=−12\therefore \quad B=-\frac{1}{2} (2) নং এর উভয়পক্ষ হতে ধ্রুব পদ সমীকৃত করে পাই, A−C=0A-C=0 বা, 12−C=0\frac{1}{2}-\mathrm{C}=0 ∴C=12\therefore \quad \mathrm{C}=\frac{1}{2} (1) নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই, \therefore \quad \frac{z}{(z-1}\left(z^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(z-1)}+\frac{-\frac{1}{2} z+\frac{1}{2}}{\left(z^{2}+1\right)} =12(z−1)+1−z2(z2+1)=\frac{1}{2(z-1)}+\frac{1-z}{2\left(z^{2}+1\right)} ∫z(z−1)(z2+1)dz=12∫1z−1dz+12∫1−zz2+1dz\int \frac{\mathrm{z}}{(\mathrm{z}-1)\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)} \mathrm{dz} =\frac{1}{2} \int \frac{1}{\mathrm{z}-1} \mathrm{dz}+\frac{1}{2} \int \frac{1-\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{2}+1} \mathrm{dz} =12∫1z−1dz+12∫1z2+12 dz−12⋅2∫2zz2+1dz=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\mathrm{z}-1} \mathrm{dz}+\frac{1}{2} \int \frac{1}{z^{2}+1^{2}} \mathrm{~d} z-\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{2 \mathrm{z}}{\mathrm{z}^{2}+1} \mathrm{dz} =12ln⁡∣z−1∣+12tan⁡−1z−14ln⁡∣z2+1∣+c=\frac{1}{2} \ln |\mathrm{z}-1|+\frac{1}{2} \tan^{-1} \mathrm{z}-\frac{1}{4} \ln \left|\mathrm{z}^{2}+1\right|+\mathrm{c} =12ln⁡∣ex−1∣−14ln⁡∣e2x+1∣+12tan⁡−1ex+c=\frac{1}{2} \ln \left|\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1\right|-\frac{1}{4} \ln \left|\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+1\right|+\frac{1}{2} \tan^{-1} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{c}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=exg(x)=e^{x} ধরি, I=12∫0πln⁡∣g(x)∣sin⁡2xdx\mathrm{I}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln |\mathrm{g}(\mathrm{x})| \sin^{2} \mathrm{x} d \mathrm{x} =12∫0πln⁡∣ex∣sin⁡2xdx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \left|e^{x}\right| \sin^{2} x d x =12∫0πxsin⁡2xdx=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \sin^{2} x d x =14∫0πx⋅2sin⁡2xdx=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} x \cdot 2 \sin^{2} x d x =14∫0πx(1−cos⁡2x)dx=14[∫0πxdx−∫0πxcos⁡2xdx]=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} x(1-\cos 2 x) d x=\frac{1}{4}\left[\int_{0}^{\pi} x d x-\int_{0}^{\pi} x \cos 2 x d x\right] এখন, ∫xcos⁡2xdx=x∫cos⁡2xdx−∫{ddxx∫cos⁡2xdx}dx\int x \cos 2 x d x=x \int \cos 2 x d x-\int\left\{\frac{d}{d x} x \int \cos 2 x d x\right\} d x =x2sin⁡2x−∫sin⁡2x2dx=\frac{x}{2} \sin 2 x-\int \frac{\sin 2 x}{2} d x =x2sin⁡2x+12⋅2cos⁡2x+c=\frac{x}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2 \cdot 2} \cos 2 x+c =x2sin⁡2x+14cos⁡2x+c=\frac{x}{2} \sin 2 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+c ∴I=14[∫0πxdx−∫0π(x2sin⁡2x+14cos⁡2x)]\therefore \quad I=\frac{1}{4}\left[\int_{0}^{\pi} x d x-\int_{0}^{\pi}\left(\frac{x}{2} \sin 2 x+\frac{1}{4} \cos 2 x\right)\right] =14{[x22]0π−[x2sin⁡2x]0π−14[cos⁡2x]0π}=\frac{1}{4}\left\{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi}-\left[\frac{x}{2} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi}-\frac{1}{4}[\cos 2 x]_{0}^{\pi}\right\} =14[(π22−0)−(0−0)−14(1−1)]=π28=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{\pi^{2}}{2}-0\right)-(0-0)-\frac{1}{4}(1-1)\right]=\frac{\pi^{2}}{8} নির্ণেয় মান : π28\frac{\pi^{2}}{8}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন