Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প -২ এর সাহায্যে প্রমান কর যে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ : হতে, [গণিত] উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, [গণিত] পুনরায়, x এর সাপেক্ষ অন্তরীকরন করে পাই, [গণিত] (proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প -২ এর সাহায্যে প্রমান কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(z)=\frac{Z^2}{\left(1+Z^2\right}^2} দৃশ্যকল্প-২ : g(t)=eacos⁡−1(2t)\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{\mathrm{a} \cos -1(2 \mathrm{t})}

Jessore · 2022

উত্তর

প্রশ্নমতে, y=3x(1+x)⇒y=3x+3x2\begin{aligned}& y=3 x(1+x) \\& \Rightarrow y=3 x+3 x^2\end{aligned} উভয়পক্ষকে x\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরিকরন করে পাই dydx=3+6x\frac{d y}{d x}=3+6 x মূলবিন্দুতে র্স্পশকের ঢাল, dydx=3+6.0\frac{d y}{d x}=3+6.0
=3=3
মূলবিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল =−13=\frac{-1}{3}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ : হতে, \begin{aligned} & f(z)=\frac{z^2}{\left(1+z^2\right}^2} \\ & f\left(e^x\right)=\frac{e^{2 \mathrm{x}}}{\left(1+e^{2 \mathrm{x}}\right)^2} \\ & \therefore \int_0^{\ln 2} f\left(e^x\right)=\int_0^{\ln } \frac{e^{2 x}}{\left(1+e^{2 x}\right)^2} d \\ & =\frac{1}{2} \int_2^5 \frac{d z}{z^2} \\ & =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\right]_2^5 \\ & =-\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\right) \\ & =-\frac{1}{2} \times \frac{2-5}{10} \\ & =\frac{3}{20}\end{aligned}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ : হতে, g(t)=eacos⁡−1(2t)g(x)=eacos⁡−1(2x)\begin{aligned}& g(t)=e^a \cos^{-1}(2 t) \\& g(x)=e^a \cos^{-1}(2 x)\end{aligned} উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই, g′(x)=ddx(eacos⁡−1(2x)⇒g′(x)⋅eacos⁡−1(2x)⋅ad′dx{(cos⁡−12x)}⇒g′(x)=ag(x)(−1)1−4x2ddx(2x)⇒g′(x)=ag(x)−2ag(x)1−4x2⇒{g′(x)}2=4a2{g(x)}21−4x2⇒(1−4x2){g′(x)}2=4a2{g(x)}2\begin{aligned}& g^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{d x}\left(e^a \cos^{-1}(2 x)\right. \\& \Rightarrow g^{\prime}(x) \cdot e^a \cos^{-1}(2 x) \cdot a \frac{d^{\prime}}{d x}\left\{\left(\cos^{-1} 2 x\right)\right\} \\& \Rightarrow g^{\prime}(x)=a g(x) \frac{(-1)}{\sqrt{1-4 x^2}} \frac{\mathrm{d}}{d x}(2 \mathrm{x}) \\& \Rightarrow g^{\prime}(x)=a g(x) \frac{-2 \mathrm{ag}(\mathrm{x})}{\sqrt{1-4 x^2}} \\& \Rightarrow\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2=\frac{4 a^2\{g(x)\}^2}{1-4 x^2} \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right)\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2=4 a^2\{g(x)\}^2\end{aligned} পুনরায়, x এর সাপেক্ষ অন্তরীকরন করে পাই, ddx[(1−4x2){g′(x)}2]=4a2ddx{g(x)}2⇒(1−4x2)ddx{g′(x)}2+{g′(x)}2ddx(1−4x2)=4a2⋅2g(x)⋅g′(x)⇒(Δ−4x2)2g′(x)g′′(x)−8x{g′(x)}2=8a2g(x)g′(x)⇒2g′(x){1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)}=8a2g(x)g′(x)⇒(1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)=4a2g(x)⇒(1−4x2)g′′(x)−4xg′(x)−4a2g(x)=0\begin{aligned}& \frac{d}{d x}\left[\left(1-4 x^2\right)\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2\right]=4 a^2 \frac{d}{d x}\{g(x)\}^2 \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) \frac{d}{d x}\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2+ \\& \left\{g^{\prime}(x)\right\}^2 \frac{d}{d x}\left(1-4 x^2\right)=4 a^2 \cdot 2 g(x) \cdot g^{\prime}(x) \\& \Rightarrow\left(\Delta-4 x^2\right) 2 g^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)-8 x\left\{g^{\prime}(x)\right\}^2 \\& =8 a^2 g(x) g^{\prime}(x) \\& \left.\Rightarrow 2 g^{\prime}(x)\left\{1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)\right\} \\& =8 a^2 g(x) g^{\prime}(x) \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)=4 a^2 g(x) \\& \Rightarrow\left(1-4 x^2\right) g^{\prime \prime}(x)-4 x g^{\prime}(x)-4 a^2 g(x)=0\end{aligned} (proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন