Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বৃত্ত এবং উদ্দীপকে উল্লিখিত পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] পরাবৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] এখন, [গণিত] .. (i) এবং [গণিত] . (ii) সমীকরণদ্বয় সমাধান করি। (ii)নং হতে [গণিত] -এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (ii)নং হতে পাই, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] অর্থাৎ, (i)নং বৃত্ত ও (ii)নং পরাবৃত্ত [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [চিত্র] বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল = [গণিত] APBQA ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] [এখানে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] যখন [গণিত] , তখন [গণিত] এবং যখন [গণিত] , তখন [গণিত] বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

বৃত্ত এবং উদ্দীপকে উল্লিখিত পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম অংশের ক্ষ…

উদ্দীপক

f(x)=\frac{1}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} একটি ফাংশন এবং y2=1−xy^{2}=1-x একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।

চট্টগ্রাম কলেজ · 2024

উত্তর

Φ∫25∣x−5∣dx\Phi \int_{2}^{5}|x-5| d x =−∫25(x−5)dx[∵(x−5)<0=-\int_{2}^{5}(x-5) d x \quad[\because(x-5)<0 হলে, ∣x−5∣=−(x−5)]|x-5|=-(x-5)] =−[x22−5x]25=-\left[\frac{x^{2}}{2}-5 x\right]_{2}^{5} =−[(522−5×5)−(222−5×2)]=−[252−25−2+10]=-\left[\left(\frac{5^{2}}{2}-5 \times 5\right)-\left(\frac{2^{2}}{2}-5 \times 2\right)\right]=-\left[\frac{25}{2}-25-2+10\right] =−[252−17]=17−252=34−252=92=-\left[\frac{25}{2}-17\right]=17-\frac{25}{2}=\frac{34-25}{2}=\frac{9}{2} ∴∫25∣x−5∣dx=92\therefore \quad \int_{2}^{5}|x-5| d x=\frac{9}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=\frac{1}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} \int x f(x) d x=\int \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} d x মনে করি, \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} \equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+1} উভয়পক্ষে (x−1)(x2+1)(x-1)\left(x^{2}+1\right) দ্বারা গুণ করে পাই, x≡A(x2+1)+(Bx+C)(x−1)x \equiv A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(x-1)
…….(i)(i)\ldots\ldots. (i) (i)
নং এ x=1 বসিয়ে, 1=2 A1=2 \mathrm{~A} বা, A=12\mathrm{A}=\frac{1}{2} (i)নং এ x=0\mathrm{x}=0 বসিয়ে, 0=A−C0=A-C বা, =A=12=A=\frac{1}{2} (i)নং এর উভয়পক্ষ হতে x2x^{2} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, 0=A+B0=\mathrm{A}+\mathrm{B} বা, B=−A=−12\mathrm{B}=-\mathrm{A}=-\frac{1}{2} \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}{x^{2}+1} =12⋅1x−1−12⋅xx2+1+12⋅1x2+1=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \therefore \int \frac{x}{(x-1}\left(x^{2}+1\right)} d x =12∫dxx−1−14∫2xx2+1dx+12∫dxx2+1=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x-1}-\frac{1}{4} \int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2}+1} =12ln⁡∣x−1∣−14ln⁡(x2+1)+12tan⁡−1x+c=\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{2} \tan^{-1} x+c

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 পরাবৃত্তের সমীকরণ, y2=1−xy^{2}=1-x এখন, x2+y2=1x^{2}+y^{2}=1 …..(i)\ldots.. (i) এবং y2=1−x\mathrm{y}^{2}=1-\mathrm{x}….(ii)\ldots. (ii) সমীকরণদ্বয় সমাধান করি। (ii)নং হতে y2y^{2}-এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, x2+1−x=1x^{2}+1-x=1 বা, x(x−1)=0x(x-1)=0 ∴x=0,1\therefore \quad \mathbf{x}=0,1 (ii)নং হতে পাই, x=0x=0 হলে, y=±1y= \pm 1 x=1x=1 হলে, y=0y=0 অর্থাৎ, (i)নং বৃত্ত ও (ii)নং পরাবৃত্ত (1,0),(0,1)(1,0),(0,1) ও (0,−1)(0,-1) বিন্দুতে ছেদ করে। question image \end{if}]--> বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল = 2×2 \times APBQA ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =∫01(y1−y2)dx=\int_{0}^{1}\left(y_{1}-y_{2}\right) d x =2∫01(1−x2−1−x)dx=2∫011−x2dx−2∫011−xdx=2 \int_{0}^{1}\left(\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x}\right) d x=2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x-2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x} d x =2M−2[(1−x)32−32]01=2 M-2\left[\frac{(1-x)^{\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} [এখানে, M=∫011−x2dx]M=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x] =2M+43(0−1)=2M−43=2 M+\frac{4}{3}(0-1)=2 M-\frac{4}{3} M=∫011−x2dxM =\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta বা, dx=cos⁡θdθd x=\cos \theta d \theta যখন x=0x=0, তখন θ=0\theta=0 এবং যখন x=1x=1, তখন θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} M=∫0π21−sin⁡2θ⋅cos⁡θdθM=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^{2} \theta} \cdot \cos \theta d \theta =12∫0π22cos⁡2θdθ=12∫0π2(1+cos⁡2θ)dθ=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^{2} \theta d \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) d \theta =12[θ+12sin⁡2θ]0π2=12[(π2+0)−0]=π4=\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-0\right]=\frac{\pi}{4} ∴\therefore বৃত্তের আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল =2⋅π4−43=(π2−43)=2 \cdot \frac{\pi}{4}-\frac{4}{3}=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right) বর্গ একক। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল (π2−43)\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন