Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাকলন পদ্ধতিতে দৃশ্যকল্প-১ ও x + y = 2 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-১ হতে পই, [গণিত] [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] নির্ণেয় ক্ষেত্রফল, [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

সমাকলন পদ্ধতিতে দৃশ্যকল্প-১ ও x + y = 2 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১, x2+y2=4\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4 দৃশ্যকল্প-২, f(x)=sin⁡−1xf(x)=\sin^{-1} x

Dhaka · 2023

উত্তর

∫1a2+4x2dx=∫14(a24+x2)dx=14∫1(a2)2+x2dx=14⋅1a2tan⁡−1xa2+c=12atan⁡−12xa+c\begin{aligned} \int \frac{1}{\mathrm{a}^2+4 \mathrm{x}^2} \mathrm{dx} & =\int \frac{1}{4\left(\frac{\mathrm{a}^2}{4}+\mathrm{x}^2\right)} d x \\ & =\frac{1}{4} \int \frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2+x^2} d x=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{a}{2}} \tan^{-1} \frac{\mathrm{x}}{\frac{\mathrm{a}}{2}}+c=\frac{1}{2 \mathrm{a}} \tan^{-1} \frac{2 x}{a}+c\end{aligned} নির্ণেয় যোজিত ফল 12atan⁡−12xa+c\frac{1}{2 \mathrm{a}} \tan^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{c}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡−1xf(x)=\sin^{-1} x ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta বা, dx=cos⁡θdθd x=\cos \theta d \theta ∴∫xf(x)dx=∫xsin⁡−1xdx\therefore \int \mathrm{x} f(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\int \mathrm{x} \sin^{-1} \mathrm{xdx} =sin⁡−1x∫xdx−∫{ddxsin⁡−1x∫xdx}dx=x22sin⁡−1x−∫11−x2⋅x22dx=x22sin⁡−1x−∫sin⁡2θ21−sin⁡2θcos⁡θdθ=x22sin⁡−1x−∫sin⁡2θ2cos⁡θcos⁡θdθ=x22sin⁡−1x−14∫2sin⁡2θdθ=x22sin⁡−1x−14∫(1−cos⁡2θ)dθ=x22sin⁡−1x−14(θ−sin⁡2θ2)+c=x22sin⁡−1x−14(θ−2sin⁡θcos⁡θ2)+c\begin{aligned} & =\sin^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x} \sin^{-1} x \int x d x\right\} d x \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{\sin^2 \theta}{2 \sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d \theta \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\int \frac{\sin^2 \theta}{2 \cos \theta} \cos \theta d \theta \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \int 2 \sin^2 \theta d \theta \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \int(1-\cos 2 \theta) d \theta \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4}\left(\theta-\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)+c \\ & =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4}\left(\theta-\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2}\right)+c\end{aligned} =x22sin⁡−1x−14θ+14sin⁡θ1−sin⁡2θ+c=x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+14x1−x2+c[∵x=sin⁡θ বা, θ=sin⁡−1x]\begin{array}{r}=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \theta+\frac{1}{4} \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}+c \\ =\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}+c \\ {\left[\because x=\sin \theta \text{ বা, } \theta=\sin^{-1} x\right]}\end{array} নির্ণেয় যোজিত ফল x22sin⁡−1x−14sin⁡−1x+14x1−x2+c\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{4} \sin^{-1} x+\frac{1}{4} x \sqrt{1-x^2}+c

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পই, x2+y2=4x^{2}+y^{2}=4 ⇒x2=4−y2\Rightarrow \mathrm{x}^{2}=4-\mathrm{y}^{2} ⇒x1=22−y2\Rightarrow \mathrm{x}_{1}=\sqrt{2^{2}-\mathrm{y}^{2}} question image দেওয়া আছে, x+y=2x+y=2 ⇒x2=2−y\Rightarrow x_{2}=2-y ∴\therefore ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,0)(3)(0,2)(2,0)(3)(0,2) ∴\therefore নির্ণেয় ক্ষেত্রফল, =∫02(x1−x2)dy=\int_{0}^{2}\left(x_{1}-x_{2}\right) d y =∫02(22−y2−2+y)dy=\int_{0}^{2}\left(\sqrt{2^{2}-y^{2}}-2+y\right) d y =[y22−y22+222sin⁡+y2−2y+y22]02=\left[\frac{y \sqrt{2^{2}-y^{2}}}{2}+\frac{2^{2}}{2} \sin^{+} \frac{y}{2}-2 y+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =(0+2xπ2−4+2−0)=\left(0+2 x \frac{\pi}{2}-4+2-0\right) =(π−2)=(\pi-2) বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন