Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর, .

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x g(x)=x4g(x)=x^{4}

Rajshahi · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x−cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x} ∴∫{f(x)}2dx\therefore \int\{\mathrm{f}(\mathrm{x})\}^{2} \mathrm{dx} =∫(sin⁡x−cos⁡x)2dx=\int(\sin x-\cos x)^{2} d x =∫(sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡x⋅cos⁡x)dx=\int\left(\sin^{2} \mathrm{x}+\cos^{2} \mathrm{x}-2 \sin \mathrm{x} \cdot \cos \mathrm{x}\right) \mathrm{dx} =∫(1−sin⁡2x)dx=\int(1-\sin 2 \mathrm{x}) \mathrm{dx} =∫dx−∫sin⁡2xdx=x+cos⁡2x2+c=\int \mathrm{dx}-\int \sin 2 \mathrm{xdx}=\mathrm{x}+\frac{\cos 2 \mathrm{x}}{2}+\mathrm{c} নির্ণেয় যোজিত ফল : x+cos⁡2x2+cx+\frac{\cos 2 x}{2}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡x−cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x} ধরি, I=∫1−f(x)1+f(x)dx\mathrm{I}=\int \frac{1-\mathrm{f}(\mathrm{x})}{1+\mathrm{f}(\mathrm{x})} \mathrm{dx} =∫1−(sin⁡x−cos⁡x)1+(sin⁡x−cos⁡x)dx=∫1−sin⁡x+cos⁡x1+sin⁡x−cos⁡xdx\begin{aligned}& =\int \frac{1-(\sin x-\cos x)}{1+(\sin x-\cos x)} d x \\& =\int \frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x} d x\end{aligned} এখন, 1−sin⁡x+cos⁡x=l(1+sin⁡x−cos⁡x)+mddx(1+sin⁡x−cos⁡x)+n1-\sin x+\cos x=l(1+\sin x-\cos x)+m \frac{d}{d x}(1+\sin x-\cos x)+n =l(1+sin⁡x−cos⁡x)+m(cos⁡x+sin⁡x)+n……..(i)=l(1+\sin x-\cos x)+m(\cos x+\sin x)+n\ldots\ldots.. (i). =(1+n)+(1+m)sin⁡x+(−1+m)cos⁡x=(1+n)+(1+m) \sin x+(-1+m) \cos x. উভয়পক্ষ হতে sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x ও ধ্রুব পদ সমীকৃত করে পাই, 1+n=1……...(ii)1+n=1\ldots\ldots... (ii) 1+m=−1……..(iii)1+m=-1\ldots\ldots.. (iii) −1+m=1-1+m=1 ……...(iv)\ldots\ldots... (iv) এখন, (iii) + (iv) হতে, 2 m=0⇒m=02 \mathrm{~m}=0 \Rightarrow \mathrm{m}=0 m=0\mathrm{m}=0 হলে, (iii) হতে, 1=−11=-1 1=−11=-1 হলে, (ii) হতে, n=2\mathrm{n}=2 (i) নং হতে পাই, I−sin⁡x+cos⁡x=−1(1+sin⁡x−cos⁡x)+0+2∴I=∫−1(1+sin⁡x−cos⁡x)+21+sin⁡x−cos⁡xdx=−∫dx+2∫11+sin⁡x−cos⁡xdx=−x+2I1\begin{aligned}& I-\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=-1(1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})+0+2 \\& \therefore I=\int \frac{-1(1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})+2}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} \\& =-\int \mathrm{dx}+2 \int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} \\& =-\mathrm{x}+2 \mathrm{I}_{1}\end{aligned} যেখানে, I1=∫11+sin⁡x−cos⁡xdx\mathrm{I}_{1}=\int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}} \mathrm{dx} =∫11+2tan⁡x21+tan⁡2x2−1−tan⁡2x21+tan⁡2x2dx=\int \frac{1}{1+\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}-\frac{1-\tan^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}} d x =∫1+tan⁡2x21+tan⁡2x2+2tan⁡x2−1+tan⁡2x2dx=\int \frac{1+\tan^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan^{2} \frac{x}{2}+2 \tan \frac{x}{2}-1+\tan^{2} \frac{x}{2}} d x =∫sec⁡2x22tan⁡2x2+2tan⁡x2dx=\int \frac{\sec^{2} \frac{x}{2}}{2 \tan^{2} \frac{x}{2}+2 \tan \frac{x}{2}} d x =∫2dy2y2+2y=\int \frac{2 d y}{2 y^{2}+2 y} ধরি, tan⁡x2=y\tan \frac{x}{2}=y বা, 12sec⁡2x2dx=dy\frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} d x=d y বা, sec⁡2x2dx=2dy\sec^{2} \frac{x}{2} d x=2 d y =∫1y(y+1)dy=∫(1y−1y+1)dy=\int \frac{1}{\mathrm{y}(\mathrm{y}+1)} \mathrm{dy}=\int\left(\frac{1}{\mathrm{y}}-\frac{1}{\mathrm{y}+1}\right) \mathrm{dy} =ln⁡y−ln⁡(y+1)+c=\ln \mathrm{y}-\ln (\mathrm{y}+1)+\mathrm{c} =ln⁡yy+1+c=ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c=\ln \frac{y}{y+1}+c=\ln \frac{\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}+c ∴I=−x+2ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c\therefore \mathrm{I}=-\mathrm{x}+2 \ln \frac{\tan \frac{\mathrm{x}}{2}}{1+\tan \frac{\mathrm{x}}{2}}+\mathrm{c} নির্ণেয় যোজিত ফল : −x+2ln⁡tan⁡x21+tan⁡x2+c-x+2 \ln \frac{\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}+c.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{4} ∴g(cos⁡θ)=cos⁡4θ\therefore \mathrm{g}(\cos \theta)=\cos^{4} \theta এখন, ∫0π4g(cos⁡θ)dθ=∫0π4cos⁡4θdθ\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} g(\cos \theta) \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{4} \theta \mathrm{d} \theta =14∫0π4(2cos⁡2θ)2 dθ=14∫0π4(1+cos⁡2θ)2 dθ=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(2 \cos^{2} \theta\right)^{2} \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 2 \theta)^{2} \mathrm{~d} \theta =14∫0π4(1+2cos⁡2θ+cos⁡22θ)dθ=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(1+2 \cos 2 \theta+\cos^{2} 2 \theta\right) \mathrm{d} \theta =14[θ+2sin⁡2θ2]0−π4+14.2∫0π42cos⁡22θdθ=\frac{1}{4}\left[\theta+2 \frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{0}^{-\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{4.2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos^{2} 2 \theta \mathrm{d} \theta =14[(π4+sin⁡π2)−0]+18∫0π4(1+cos⁡4θ)dθ=\frac{1}{4}\left[\left(\frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{2}\right)-0\right]+\frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 4 \theta) \mathrm{d} \theta =π16+14+18[θ+sin⁡4θ4]0−π4=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left[\theta+\frac{\sin 4 \theta}{4}\right]_{0}^{-\frac{\pi}{4}} =π16+14+18[(π4+sin⁡π4)−0]=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left[\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\sin \pi}{4}\right)-0\right] =π16+14+π32+0=3π32+14=\frac{\pi}{16}+\frac{1}{4}+\frac{\pi}{32}+0=\frac{3 \pi}{32}+\frac{1}{4} ∴∫0π4 g(cos⁡θ)dθ=3π32+14\therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~g}(\cos \theta) \mathrm{d} \theta=\frac{3 \pi}{32}+\frac{1}{4} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন