Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: এখানে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] [Showed]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, [গণিত]

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x

Barisal · 2021

উত্তর

প্রশ্নমতে, \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left\{\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right\} \\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left\{\ln \sqrt{\left.\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}\right\}}\left[\begin{array}{r}\geq 1-\cos 2 x=2 \sin^2 x \\ 1+\cos 2 x=2 \cos^2 x\end{aligned}\right]\right. \\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left\{\ln \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}}\right\} \\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left\{\ln \left(\tan \frac{x}{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\tan \frac{x}{2}\right) \\ & \tan \frac{x}{2} \mathrm{~d} x\end{aligned} \end{array} =1tan⁡x2⋅sec⁡2x2⋅ddx(x2)=cot⁡x2⋅sec⁡2x2⋅12=12⋅cos⁡2−sin⁡2x2⋅1cos⁡2x2=12sin⁡2x2cos⁡x2=1sin⁡2⋅x2[≥2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x]=1sin⁡x=cosec⁡⁡x [Ans.] \begin{aligned} & =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{x}{2}\right) \\ & =\cot \frac{x}{2} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos_2^{-}}{\sin_2^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \\ & =\frac{1}{2 \sin_2^{\frac{x}{2} \cos^{\frac{x}{2}}}} \\ & =\frac{1}{\sin 2 \cdot \frac{x}{2}} \quad[\geq 2 \sin x \cos x=\sin 2 x] \\ & =\frac{1}{\sin x}=\operatorname{\cosec} x \text{ [Ans.] } \\ & \end{aligned}\end{array}

উত্তর

f(x) = sinx ∴f(π2−θ)=sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\begin{aligned}& \therefore f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\& =\cos \theta\end{aligned} ∴∫dθ1+3{f(π2−θ)}2\therefore \int \frac{d \theta}{1+3\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}^{2}} =\int \frac{d \theta}{1+3(\cos \theta}^{2}} =∫dθ1+3cos⁡2θ=\int \frac{d \theta}{1+3 \cos^{2} \theta} =∫dθcos⁡2θ1+3cos⁡2θcos⁡2θ=\int \frac{\frac{d \theta}{\cos^{2} \theta}}{\frac{1+3 \cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}} =∫1cos⁡2θdθ1cos⁡2θ+3cos⁡2cos⁡2θ=\int \frac{\frac{1}{\cos^{2} \theta} d \theta}{\frac{1}{\cos^{2} \theta}+\frac{3 \cos^{2}}{\cos^{2} \theta}} =∫sec⁡2θdθsec⁡2θ+3=\int \frac{\sec^{2} \theta d \theta}{\sec^{2} \theta+3} =∫sec⁡2θdθ1+tan⁡2θ+3=\int \frac{\sec^{2} \theta d \theta}{1+\tan^{2} \theta+3} [যেহেতু, sec⁡2θ=1+tan⁡2θ\sec^{2} \theta=1+\tan^{2} \theta ] ধরি tan⁡θ=z\quad \tan \theta=z বা, ddθ(tan⁡θ)=ddθ(z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}(\tan \theta)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}(z) বা, sec⁡2θ=dzd\sec^2 \theta=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d}} ∴dz=sec⁡2θdθ\therefore \mathrm{d} z=\sec^2 \theta \mathrm{d} \theta =∫sec⁡2θdθtan⁡2θ+4∴∫sec⁡2θdθtan⁡2θ+4=∫dzz2+4=∫dzz2+22=∫dz22+z2=12tan⁡−1(z2)+c=12tan⁡−1(tan⁡θ2)+c [Ans.] \begin{aligned} & =\int \frac{\sec^2 \theta \mathrm{d} \theta}{\tan^2 \theta+4} \\ & \therefore \int \frac{\sec^2 \theta \mathrm{d} \theta}{\tan^2 \theta+4}=\int \frac{\mathrm{d} z}{z^2+4} \\ & =\int \frac{\mathrm{d} z}{z^2+2^2} \\ & =\int \frac{\mathrm{d} z}{2^2+z^2} \\ & =\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)+\mathrm{c} \\ & =\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{2}\right)+\mathrm{c} \text{ [Ans.] }\end{aligned}

উত্তর

এখানে, f(π2−x)=sin⁡(π2−x)f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) =cos⁡X=\cos X ∴{1+f(π2−x)}2f(x)dx\therefore\left\{1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{2} f(x) \mathrm{d} x =(1+cos⁡x)2sin⁡xdx=(1+\cos x)^{2} \sin x d x ধরি, cos⁡x=z\cos x=z বা, ddx(cos⁡x)=ddx(z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\cos x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\mathrm{z}) বা, −sin⁡x=dzdx-\sin x=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}} বা, −sin⁡x dx=dz-\sin x \mathrm{~d} x=\mathrm{d} z ∴sin⁡x dx=−dz\therefore \sin x \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} z question image =∫10(1+z)2(−dz)=\int_{1}^{0}(1+z)^{2}(-\mathrm{d} z) =−∫10(1+z)2 dz=-\int_{1}^{0}(1+z)^{2} \mathrm{~d} z =∫01(1+z)2 dz=\int_{0}^{1}(1+z)^{2} \mathrm{~d} z =∫01(1+2z+z2)dz=\int_{0}^{1}\left(1+2 z+z^{2}\right) \mathrm{d} z =∫011⋅dz+∫012z dz+∫01z2 dz=\int_{0}^{1} 1 \cdot \mathrm{d} z+\int_{0}^{1} 2 z \mathrm{~d} z+\int_{0}^{1} z^{2} \mathrm{~d} z =[z]_{0}^{1}+2\left[\frac{z^{2}}{2}\right] 1+\left[\frac{z^{3}}{3}\right] \[\begin{aligned} & 1 \\ & 0\end{aligned}\] =(1−0)+2×(122−022)+(133−033)=(1-0)+2 \times\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)+\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}\right) =1+2×12+13=1+2 \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} =1+1+13=1+1+\frac{1}{3} =3+3+13=73=\frac{3+3+1}{3}=\frac{7}{3} ∴{1+f(π2−x)}2f(x)dx=73\therefore\left\{1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{7}{3} \quad [Showed]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন