Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ক্যালকুলাসের সাহায্যে 4 Q(x) 2 + 9 Q(y) 2 = 36 বক্ররেখাটির দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এক-চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] [গণিত] মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

ক্যালকুলাসের সাহায্যে 4 Q(x) 2 + 9 Q(y) 2 = 36 বক্ররেখাটির দ্বারা আ…

উদ্দীপক

P(x)=4x+3,Q(x)=x\mathrm{P}(x)=4 x+3, \mathrm{Q}(x)=x.।

Barisal · 2021

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡xx\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} =lim⁡x→01−cos⁡2⋅x2x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 \cdot \frac{x}{2}}{x} =lim⁡x→02sin⁡2⋅x2x[1−cos⁡2x=2sin⁡2x]=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2} \cdot \frac{x}{2}}{x} \quad\left[1-\cos 2 x=2 \sin^{2} x\right] =lim⁡x→02sin⁡2x24⋅(x2)2⋅x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2}}{4 \cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \cdot x =lim⁡x→0sin⁡2x22(x2)2⋅x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^{2} \frac{x}{2}}{2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}} \cdot x =12⋅x2→lim⁡(sin⁡x2x2)2×lim⁡x→0x=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \rightarrow \frac{\lim }{}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2} \times \lim_{x \rightarrow 0} x =12⋅1⋅0=0=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0=0 (Ans)

উত্তর

P(x)=4x+3P(x)=4x+3 ∴∫dx(2x+1)P(x)=∫dx(2x+1)4x+3\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{\mathrm{P}(x)}}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{4 x+3}} ধরি, 4x+3=Z2…(i)4 x+3=Z^2 \ldots (i) বা, ddz(4x+3)=ddz(z2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}(4 x+3)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z}\left(z^{2}\right) বা, 4dx dz=2z4 \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}=2 z বা, 4 dx=2z dz4 \mathrm{~d} x=2 z \mathrm{~d} z বা, 2 dx=z dz2 \mathrm{~d} x=z \mathrm{~d} z ∴dx=z dz2……\therefore \mathrm{d} x=\frac{z \mathrm{~d} z}{2} \quad \ldots \ldots... (ii) এখন, 4x+3=z24 x+3=z^{2} বা, 4x=z2−34 x=z^{2}-3 বা, 2x=z2−322 x=\frac{z^{2}-3}{2} বা, 2x+1=z2−32+12 x+1=\frac{z^{2}-3}{2}+1 বা, 2x+1=z2−3+222 x+1=\frac{z^{2}-3+2}{2} ∴2x+1=z2−12………(iii)\therefore 2 x+1=\frac{z^{2}-1}{2} \ldots \ldots \ldots (iii) ∴∫dx(2x+1)4x+3=∫z dz2z2−12⋅z2\therefore \int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{4 x+3}}=\int \frac{\frac{z \mathrm{~d} z}{2}}{\frac{z^{2}-1}{2} \cdot \sqrt{z^{2}}} =∫z dz2(z2−1)z2=\int \frac{\frac{z \mathrm{~d} z}{2}}{\frac{\left(z^{2}-1\right) z}{2}} =∫z dz2□2z(z2−1)=\int \frac{z \mathrm{~d} z}{2} \square \frac{2}{z\left(z^{2}-1\right)} =∫dzz2−1=\int \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}-1} =∫dzz2−12=\int \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}-1^{2}} =12′1ln⁡∣z−1z+1∣+c=\frac{1}{2^{\prime} 1} \ln \left|\frac{z-1}{z+1}\right|+\mathrm{c} =12ln⁡∣4x+3−14x+3+1∣+c=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sqrt{4 x+3}-1}{\sqrt{4 x+3}+1}\right|+c [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(x)=x\mathrm{Q}(x)=x এখানে, 4{Q(x)}2+9{Q(y)}2=36\quad 4\{\mathrm{Q}(x)\}^{2}+9\{\mathrm{Q}(y)\}^{2}=36 বা, 4x2+9y2=36…(1)4 x^{2}+9 y^{2}=36 \ldots (1) বা, 4x236+9y236=3636\frac{4 x^{2}}{36}+\frac{9 y^{2}}{36}=\frac{36}{36} বা, x29+y24=1\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 বা, y24=1−x29\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{9} বা, y24=9−x29\frac{y^{2}}{4}=\frac{9-x^{2}}{9} বা, y2=49(9−x2)y^{2}=\frac{4}{9}\left(9-x^{2}\right) বা, y=±49(9−x2)y= \pm \sqrt{\frac{4}{9}\left(9-x^{2}\right)} বা, y=±23(9−x2)y= \pm \frac{2}{3} \sqrt{\left(9-x^{2}\right)} ∴y=239−x2\therefore y=\frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} ∴\therefore এক-চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল =∫03y dx=\int_{0}^{3} y \mathrm{~d} x =23∫039−x2 dx=\frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x =239−(3sin⁡θ)2⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9-(3 \sin \theta)^{2}} \cdot 3 \cos \theta d \theta =239−9sin⁡2θ⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9-9 \sin^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta =239(1−sin⁡2θ)⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \sqrt{9\left(1-\sin^{2} \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta d \theta ধরি, x=3sin⁡θx=3 \sin \theta বা, dx dθ=ddθ(3sin⁡θ)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}(3 \sin \theta) বা, dx dθ=3cos⁡θ\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}=3 \cos \theta ∴dx=3cos⁡dθ\therefore \mathrm{d} x=3 \cos \mathrm{d} \theta question image =23⋅31−sin⁡2θ⋅3cos⁡θdθ=\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{1-\sin^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta =2⋅3cos⁡2θ⋅cos⁡θdθ=2 \cdot 3 \sqrt{\cos^{2} \theta} \cdot \cos \theta d \theta =6cos⁡θ⋅cos⁡θdθ=6 \cos \theta \cdot \cos \theta d \theta =6cos⁡2θdθ=6 \cos^{2} \theta d \theta =6⋅122cos⁡2θdθ=6 \cdot \frac{1}{2} 2 \cos^{2} \theta d \theta =3(1+cos⁡2θ)dθ=3(1+\cos 2 \theta) d \theta =3 dθ+3cos⁡2θdθ=3 \mathrm{~d} \theta+3 \cos 2 \theta d \theta =3[θ]0π2+3[sin⁡2θ2]0π2=3[\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+3\left[\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =3(π2−0)+32(sin⁡2⋅π2−sin⁡2.0)=3\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+\frac{3}{2}\left(\sin 2 \cdot \frac{\pi}{2}-\sin 2.0\right) =3π2+32(sin⁡π−sin⁡0)=\frac{3 \pi}{2}+\frac{3}{2}(\sin \pi-\sin 0) =3π2+32(0−0)=\frac{3 \pi}{2}+\frac{3}{2}(0-0) =3π2+0=\frac{3 \pi}{2}+0 =3π2=\frac{3 \pi}{2} মোট আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =4×OAB=4 \times \mathrm{OAB} বর্গ একক =4×32π=4 \times \frac{3}{2} \pi বর্গ একক =6π=6 \pi বর্গ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন