Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল বের কর।

উত্তর: [গণিত] (i) নং [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] অর্থাৎ উপবৃত্তটি x-অক্ষকে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [চিত্র] আবার, [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] উপবৃত্তটি [গণিত] -অক্ষকে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল [গণিত] ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরি, [গণিত] যখন [গণিত] , তখন [গণিত] এবং যখন [গণিত] , তখন [গণিত] বগ একক (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষে…

উদ্দীপক

g(z)=mzsin⁡−1z\mathrm{g}(\mathrm{z})=\mathrm{mz} \sin^{-1} \mathrm{z} একটি ফাংশন এবং x2 b2+y2a2=1\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{~b}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{a}^2}=1 একটি বক্রররেখা।

Dinajpur · 2017

উত্তর

ধরি, ln⁡z=x\ln \mathrm{z}=\mathrm{x} ∴1zdz=dx\therefore \frac{1}{\mathrm{z}} \mathrm{dz}=\mathrm{dx} question image ∫121zcos⁡(ln⁡z)dz=∫0ln⁡2cos⁡xdx=[sin⁡x]0ln⁡2=sin⁡(ln⁡2)−sin⁡0=sin⁡(ln⁡2)( Ans.) \begin{aligned} & \int_1^2 \frac{1}{z} \cos (\ln z) d z \\ & =\int_0^{\ln 2} \cos x d x \\ & =[\sin x]_0^{\ln 2} \\ & =\sin (\ln 2)-\sin 0 \\ & =\sin (\ln 2)(\text{ Ans.) }\end{aligned}

উত্তর

∫g(x)dx=∫mxsin⁡−1xdx[<g(z)=mzsin⁡−1z]\int g(x) d x=\int m x \sin^{-1} x d x\left[<g(z)=m z \sin^{-1} z\right] এখন, ∫xsin⁡−1xdx\int x \sin^{-1} x d x =sin⁡−1x∫xdx−∫{ddx(sin⁡−1x)∫xdx}dx=\sin^{-1} x \int x d x-\int\left\{\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} x\right) \int x d x\right\} d x =sin⁡−1x⋅x22−∫11−x2⋅x22dx=\sin^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} d x =x22sin⁡−1x−12∫x21−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x =x22sin⁡−1x−12I[I=∫x21−x2dx=\frac{x^2}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} I \quad [I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x ধরে ধরি, x=sin⁡θx=\sin \theta বা, θ=sin⁡−1x\theta=\sin^{-1} \mathrm{x} ∴dx=cos⁡θdθ\therefore \mathrm{dx}=\cos \theta \mathrm{d} \theta এখন, I=∫x21−x2dx\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}^2}{\sqrt{1-\mathrm{x}^2}} \mathrm{dx} =∫sin⁡2θ1−sin⁡2θ⋅cos⁡θdθ=\int \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta =∫sin⁡2θdθ=\int \sin^2 \theta \mathrm{d} \theta =∫12(1−cos⁡2θ)dθ=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2 \theta) d \theta =12(θ−12sin⁡2θ)=\frac{1}{2}\left(\theta-\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right) =12(sin⁡−1x−12⋅2sin⁡θcos⁡θ)=\frac{1}{2}\left(\sin^{-1} x-\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta\right) ∴I=12sin⁡−1x−12x1−x2\therefore \mathrm{I}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \mathrm{x}-\frac{1}{2} \mathrm{x} \sqrt{1-\mathrm{x}^2} ∴∫g(x)dx=m∫xsin⁡−1xdx\therefore \int g(x) d x=m \int x \sin^{-1} x d x =m[12x2sin⁡−1x−12(12sin⁡−1x−12x1−x2)]+c=m\left[\frac{1}{2} x^2 \sin^{-1} x-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \sin^{-1} x-\frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2}\right)\right]+c =12mx2sin⁡−1x−14msin⁡−1x+14mx1−x2+c (Ans.) =\frac{1}{2} m x^2 \sin^{-1} x-\frac{1}{4} m \sin^{-1} x+\frac{1}{4} m x \sqrt{1-x^2}+c \text{ (Ans.) }

উত্তর

x2b2+y2a2=1\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 (i) নং এy=0এ \mathrm{y}=0 বসিয়ে পাই, x2=b2∴x=±b\mathrm{x}^2=\mathrm{b}^2 \therefore \mathrm{x}= \pm \mathrm{b} অর্থাৎ উপবৃত্তটি x-অক্ষকে (−b,0)(-b, 0) ও (b,0)(b, 0) বিন্দুতে ছেদ করে। question image আবার, x=0x=0 বসিয়ে পাই, y2=a2\mathrm{y}^2=\mathrm{a}^2 ∴y=±a\therefore \mathrm{y}= \pm \mathrm{a} ∴\therefore উপবৃত্তটি y\mathrm{y}-অক্ষকে (0,−a)(0,-\mathrm{a}) ও (0,a)(0, \mathrm{a}) বিন্দুতে ছেদ করে। উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল =2×OABO=2 \times \mathrm{OABO} ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরি, x=bsin⁡θ⇒dx=bcos⁡θdθ\mathrm{x}=\mathrm{b} \sin \theta \Rightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{b} \cos \theta \mathrm{d} \theta যখন x=0x=0, তখন θ=0\theta=0 এবং যখন x=b\mathrm{x}=\mathrm{b}, তখন θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} =2∫0bydx=2 \int_0^{\mathrm{b}} \mathrm{ydx} =2∫0babb2−x2dx=2 \int_0^{\mathrm{b}} \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} =2ab∫0bb2−x2dx=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{b}} \int_0^{\mathrm{b}} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{x}^2} \mathrm{dx} =2ab∫0π/2b2−b2sin⁡2θ⋅bcos⁡θdθ=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{b}} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\mathrm{b}^2-\mathrm{b}^2 \sin^2 \theta} \cdot \mathrm{b} \cos \theta \mathrm{d} \theta =2a∫0π/2b2(1−sin⁡2θ)⋅cos⁡θdθ=2 \mathrm{a} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\mathrm{b}^2\left(1-\sin^2 \theta\right)} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta =2ab∫0π/2cos⁡2θ⋅cos⁡θdθ=ab∫0π/22cos⁡2θdθ=2 \mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \cos \theta \mathrm{d} \theta=\mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2} 2 \cos^2 \theta \mathrm{d} \theta =ab∫0π/2(1+cos⁡2θ)dθ=ab[θ+12sin⁡2θ]0π/2=\mathrm{ab} \int_0^{\pi / 2}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=\mathrm{ab}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_0^{\pi / 2} =ab[π2−0]=πab2=\mathrm{ab}\left[\frac{\pi}{2}-0\right]=\frac{\pi \mathrm{ab}}{2} বগ একক (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    12x+C\frac{1}{2 x}+C
  • খ
    1x+C\frac{1}{x}+C
  • গ
    xln⁡2x+x+Cx \ln 2 x+x+C
  • ঘ
    xln⁡2x−x+Cx \ln 2 x-x+C

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    14\frac{1}{4}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    22
  • ঘ
    44

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

  • ক
    cosec⁡⁡2x+c\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • খ
    −cosec⁡⁡2x+c-\operatorname{\cosec}^{2} x+c
  • গ
    ln⁡∣cosec⁡⁡x∣+c\ln |\operatorname{\cosec} x|+c
  • ঘ
    ln⁡(sin⁡x)+c\ln (\sin x)+c

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i,ii,ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

  • ক
    4π4 \pi
  • খ
    9π9 \pi
  • গ
    12π12 \pi
  • ঘ
    16π16 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    ln⁡83\ln \frac{8}{3}
  • খ
    12ln⁡83\frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}
  • গ
    12ln⁡24\frac{1}{2} \ln 24
  • ঘ
    ln⁡24\ln 24

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

  • ক
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • খ
    −3π4-\frac{3 \pi}{4}
  • গ
    π4\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    −π4-\frac{\pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

  • ক
    π2−12\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}
  • খ
    π2\frac{\pi}{2}
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    22

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    xln⁡x−xx \ln x-x
  • গ
    xln⁡x+xx \ln x+x
  • ঘ
    1x2\frac{1}{x^{2}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡−1x+C\sin^{-1} x+C
  • খ
    sin⁡−1x6+C\sin^{-1} \frac{x}{6}+C
  • গ
    16sin⁡−1x+C\frac{1}{6} \sin^{-1} x+C
  • ঘ
    16sin⁡−1x6+C\frac{1}{6} \sin^{-1\frac{x}{6}}+\mathrm{C}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন