Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এখানে [গণিত] এখন, [গণিত] এককের কল্পনিকঘনমূল ও একটি অপরটির ওপর বর্গ। এখন, [গণিত] এখন, প্রদত্ত রাশি, [গণিত] S এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হরে, S = 3m প্রদত্ত রাশি, [গণিত] S এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা হরে S = 3m + 1 ও S = 3m + 2 যখন, [গণিত] প্রদত্ত রাশি, [গণিত] যখন, [গণিত] প্রদত্ত রাশি, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

z=x+iyz=x+i y এবং p2+p+1=0p^2+p+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta

সোনার বাংলা কলেজ · 2024

উত্তর

1−3=1−3i1-\sqrt{3}=1-\sqrt{3} i মডুলাস, π=12+(−3)2=2\pi=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2 আর্গুমেন্ট, θ=−tan⁡−1∣yx∣=−tan⁡−1(3)=−π3\theta=-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|=-\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}

উত্তর

∣z+4∣+∣z−4∣=10|z+4|+|z-4|=10 বা, ∣x+iy+4∣+∣x+iy−4∣=10|x+i y+4|+|x+i y-4|=10 বা, (x+4)2+y2+(x−4)2+y2=10\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}=10 বা, (x+4)2+y2=10−(x−4)2+y2\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, (x+4)2+y2={10−(x−4)2+y2}2(x+4)^{2}+y^{2}=\left\{10-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\right\}^{2} বা, x2+8x+16+y2=100+(x−4)2+y2−20(x−4)2+y2x^{2}+8 x+16+y^{2}=100+(x-4)^{2}+y^{2}-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, x2+y2+8x+16=100+x2+16−8x+y2−20(x−4)2+y2x^{2}+y^{2}+8 x+16=100+x^{2}+16-8 x+y^{2}-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, 16x−100=−20(x−4)2+y216 x-100=-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, 4(4x−25)=−20(x−4)2+y24(4 x-25)=-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, 4x−25=−5(x−4)2+y24 x-25=-5 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} বা, (4x−25)2=25{(x−4)2+y2}(4 x-25)^{2}=25\left\{(x-4)^{2}+y^{2}\right\} বা, 16x2−200x+625=25(x2−8x+16+y2)16 x^{2}-200 x+625=25\left(x^{2}-8 x+16+y^{2}\right) বা, 16x2−200x+625=25x2−200x+400+25y216 x^{2}-200 x+625=25 x^{2}-200 x+400+25 y^{2} বা, 25x2−200x+400+25y2−16x2+200x−625=025 x^{2}-200 x+400+25 y^{2}-16 x^{2}+200 x-625=0 বা, 9x2+25y2=2259 x^{2}+25 y^{2}=225 বা, x225+y29=1\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 বা, x252+y232=1\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 ; সমীকরণটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে।

উত্তর

p2+p+1=0p^{2}+p+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta এখানে π,α=1+3i2\pi, \alpha=\frac{1+\sqrt{3} i}{2} β=1−3i2\beta=\frac{1-\sqrt{3} i}{2} এখন, α,β\alpha, \beta এককের কল্পনিকঘনমূল ও একটি অপরটির ওপর বর্গ। এখন, α=ω\alpha=\omega β=ω2\beta=\omega^{2} এখন, প্রদত্ত রাশি, =αS+βS=\alpha^{S}+\beta^{S} =ωS+(ω2)S=\omega^{S}+\left(\omega^{2}\right)^{S} =ωS+ω2S=\omega^{S}+\omega^{2S} S এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হরে, S = 3m প্রদত্ত রাশি, =ω3m+(ω2)3m=(ω3)m+(ω3)2m=1+1=2=\omega^{3 m}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m}=\left(\omega^{3}\right)^{m}+\left(\omega^{3}\right)^{2 m}=1+1=2 S এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা হরে S = 3m + 1 ও S = 3m + 2 যখন, s=3m+1s=3 m+1 প্রদত্ত রাশি, =(ω)3m+1+(ω2)3m+1=(\omega)^{3 m+1}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+1} =(ω3)m⋅ω+(ω3)2mω2=\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \omega^{2} =ω+ω2=−1[∵1+ω+ω2=0]=\omega+\omega^{2}=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] যখন, S=3m+2S=3 m+2 প্রদত্ত রাশি, =(ω)3m+2+(ω2)3m+2=(\omega)^{3 m+2}+(\omega 2)^{3 m+2} =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2m⋅ω4=\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega^{2}+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \cdot \omega^{4} =ω2+ω=−1[∵1+ω+ω2=0]=\omega^{2}+\omega=-1\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] ∴α5+β=\therefore \alpha^5+\beta= \left\{\[\begin{matrix}2,sএর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য \\ -1, s এর মান অপর সংখ্যা \end{matrix}\]\right. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন