Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] = 2 আবার, [গণিত] (proved)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক : Z=x+iy,z1=5−2i,z2=4+3i,z3=−2−2−3Z=x+i y, z_1=5-2 i, z_2=4+3 i, z_3=-2-2 \sqrt{-3}

সিলেট এমসি কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=5−2iz_{1}=5-2 i z2=4+3iz_{2}=4+3 i ∴z1z2=5−2i4+3i\therefore \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{5-2 i}{4+3 i} =\frac{(5-2 i)(4-3 i)}{(4+3 i}(4-3 i)} =20−15i−8i+6i242−(3i)2=\frac{20-15 i-8 i+6 i^{2}}{4^{2}-(3 i)^{2}}. =20−23i−616−9i=\frac{20-23 i-6}{16-9 i} =14−23i16+9=\frac{14-23 i}{16+9} =1425−2325i=\frac{14}{25}-\frac{23}{25} i [যা নির্ণেয় A+iBA+i B আকার]

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iyz=x+i y ∴zˉ=x−iy\therefore \bar{z}=x-i y এখন, 3∣z−1∣=2∣z−2∣3|z-1|=2|z-2| ⇒3∣x−iy−1∣=2∣x+iy−2∣\Rightarrow 3|x-i y-1|=2|x+i y-2| ⇒3∣x−1−iy∣=2∣x−2+iy∣\Rightarrow 3|x-1-i y|=2|x-2+i y| ⇒3(x−1)2+(−y2=2(x−2)2+y2\Rightarrow 3 \sqrt{(x-1)^{2}+\left(-y^{2}\right.}=2 \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} ⇒3x2−2x+1+y2=2x2−4x+y+y2\Rightarrow 3 \sqrt{x^{2}-2 x+1+y^{2}}=2 \sqrt{x^{2}-4 x+y+y^{2}} ⇒9(x2−2x+1+y2)=4(x2−4x+y+y2)\Rightarrow 9\left(x^{2}-2 x+1+y^{2}\right)=4\left(x^{2}-4 x+y+y^{2}\right) ⇒9x2−18x+9+9y2=4x2−16x+16+4y2\Rightarrow 9 x^{2}-18 x+9+9 y^{2}=4 x^{2}-16 x+16+4 y^{2} ⇒9x2−4x2+9y2−4y2−18x+16x+9−16=0\Rightarrow 9 x^{2}-4 x^{2}+9 y^{2}-4 y^{2}-18 x+16 x+9-16=0 ⇒5x2+5y2−2x−7=0\Rightarrow 5 x^{2}+5 y^{2}-2 x-7=0 ⇒x2+y2−2/5x−7/5=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 / 5 x-7 / 5=0 ⇒x2−2⋅x⋅15+(1/5)2−(1/5)2+y2−7/5=0\Rightarrow x^{2}-2 \cdot x \cdot \frac{1}{5}+(1 / 5)^{2}-(1 / 5)^{2}+y^{2}-7 / 5=0 ⇒(x−1/5)2+y2=1/25+7/5\Rightarrow (x-1 / 5)^{2}+y^{2}=1 / 25+7 / 5 ⇒(x−1/5)2+y2=3625(6/5)2\Rightarrow (x-1 / 5)^{2}+y^{2}=\frac{36}{25}(6 / 5)^{2} ∴(x−1/5)2+(y−0)2=(6/5)\therefore (x-1 / 5)^{2}+(y-0)^{2}=(6 / 5) কণিকটি একটি বৃত্ত। যার কেন্দ্র (1/5,0)(1 / 5,0) এবং ব্যাসার্ধ = 6/5 একক।

উত্তর

দেওয়া আছে, z3=−2−2−3z_{3} =-2-2 \sqrt{-3} =−2−23i=-2-2 \sqrt{3} i =12−2⋅1⋅3i=1^{2}-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} i =(1−3i)2=(1-\sqrt{3} i)^{2} ∴z3=(1−3i)2\therefore \sqrt{z_{3}} =\sqrt{(1-\sqrt{3} i)^{2}} =1−3i=1-\sqrt{3} i ∴∣z3∣=12+(−3)2\therefore\left|\sqrt{z_{3}}\right| =\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}} =1+3=\sqrt{1+3} =4=\sqrt{4} = 2 আবার, zˉ3=−2+23\bar{z}_{3}=-2+2 \sqrt{3} =−2+23i=-2+2 \sqrt{3} i ∴∣z3∣=(−2)2+(23)2\therefore\left|z_{3}\right|=\sqrt{(-2)^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}} =4+12=\sqrt{4+12} =16=4=\sqrt{16}=4 ∴∣z3∣=4=2\therefore \sqrt{\left|z_{3}\right|}=\sqrt{4}=2 ∴∣z3∣=∣z3∣\therefore\left|\sqrt{z_{3}}\right|=\sqrt{\left|z_{3}\right|} (proved)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন