Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] বা -1; যখন n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য বা অপর কোন পূর্ণ সংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে [গণিত] এখন, z ও [গণিত] এককের কাঙ্গনিক ঘনমূল ও একটির ওপর বর্গ। সুতরাং, [গণিত] এখন, প্রদত্তরাশি, [গণিত] n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, n = 3m প্রদত্ত রাশি [গণিত] প্রদত্ত রাশি, [গণিত] , [গণিত] যখন, [গণিত] , প্রদত্ত রাশি [গণিত] সুরতাং, [গণিত] হবে যখন n এর মান 3 দ্বারা ভিভাজ্য এবং [গণিত] হবে যখন n এর মান অন্য কোনোপূর্ণ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, বা -1; যখন n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য বা অপর কোন পূর্…

উদ্দীপক

z=−12+−32,p(x)=x3+1\mathrm{z}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}, \mathrm{p}(\mathrm{x})=x^3+1

ঢাকা কলেজ · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, 2=−12+32=−12+3i22=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} i}{2} মডুলাস π=(−12)2+(32)2=1(Ans.)\pi=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1 (Ans.) আর্গুমেন্ট θ=tan⁡−1(3/2−1/2)=π−tan⁡−13\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}/2}{-1 / 2}\right)=\pi-\tan^{-1} \sqrt{3} =π−π3=\pi-\frac{\pi}{3} =2π3(Ans.)=\frac{2 \pi}{3} (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে P(x)=x3+1P(x)=x^3+1 ∴P(x)=0\therefore P(x)=0 বা, x3+1=0x^3+1=0 বা, x3+13=0x^3+1^3=0 বা, (x+1)(x2−x+1)=0(x+1)\left(x^2-x+1\right)=0 ∴x+1=0\therefore x+1=0 অথবা x2−x+1=0x^2-x+1=0 এখন, x+1=0x+1=0 হলে x=1x=1 x2+x+1=02x^2+x+1=02 হলে, x=1±1−42=1±−32=1±i32x=\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} অর্থাৎ জটিল মূলদ্বয় α=1+i32\alpha=\frac{1+i \sqrt{3}}{2} β=1−i32\beta=\frac{1-i \sqrt{3}}{2} এখন বামপক্ষ = =α2+β2=\alpha^2+\beta^2 =(1+i32)2+(1−i32)2=\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^2 =12+(i3)2+23i4+12+(i3)2+23i4=\frac{1^2+(i \sqrt{3})^2+2 \sqrt{3} i}{4}+\frac{1^2+(i \sqrt{3})^2+2 \sqrt{3} i}{4} =1−3+23i+1−3−23i4=\frac{1-3+2 \sqrt{3} i+1-3-2 \sqrt{3} i}{4} =14(2−6)=\frac{1}{4}(2-6) =14(−4)=\frac{1}{4}(-4) =−1=-1 ডানপক্ষ ∴α2+β2=1\therefore \alpha^2+\beta^2=1 \quad [দেখানো হলো]

উত্তর

দেওয়া আছে z=−12+−32z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2} ∴zˉ=−12−−32\therefore \bar{z} =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2} এখন, z ও zˉ\bar{z} এককের কাঙ্গনিক ঘনমূল ও একটির ওপর বর্গ। সুতরাং, z=−12+−32=ωz=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}=\omega zˉ=−12−−32=ω2\bar{z}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}=\omega^2 এখন, প্রদত্তরাশি, =zn+(zˉ)n=z^n+(\bar{z})^n =ωn+(ω2)n=\omega^n+\left(\omega^2\right)^n =ωn+ω2n=\omega^n+\omega^{2 n} n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, n = 3m প্রদত্ত রাশি =ω3m+(ω2)3m=(ω3)m+(ω3)2m=1+1=2=\omega^{3m}+\left(\omega^2\right)^{3m}=\left(\omega^3\right)^m+\left(\omega^3\right)^{2 m}=1+1=2 প্রদত্ত রাশি, n=3m+1n=3 m+1, n=3m+1,=(ω)3m+1+(ω2)3m+1n=3 m+1, =(\omega)^{3 m+1}+\left(\omega^2\right)^{3 m+1} =(ω3)mω+(ω3)2m⋅ω2=\left(\omega^3\right)^m \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 =ω+ω2=\omega+\omega^2 =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] যখন, n=3m+2n=3 m+2, প্রদত্ত রাশি =(ω3m+2+(ω2)3m+2=\left(\omega^{3 m+2}+\left(\omega^2\right)^{3 m+2}\right. =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2m⋅ω4=\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^4 =ω2+ω=\omega^2+\omega =−1[∵1+ω+ω2+0]=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2+0\right] সুরতাং, zn+(zˉ)n=2z^n+(\bar{z})^n=2 হবে যখন n এর মান 3 দ্বারা ভিভাজ্য এবং zn+(zˉ)n=−1z^n+(\bar{z})^n=-1 হবে যখন n এর মান অন্য কোনোপূর্ণ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন