Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যখন [গণিত] এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন [গণিত] এর মান অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে, [গণিত] शबन, [গণিত] হলে, [গণিত] অতত্রব, [গণিত] , যখন [গণিত] এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, [গণিত] যখন [গণিত] এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, , যখন এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, -1 , যখন এর মা…

উদ্দীপক

z1=−1−i3,z2=3−iz_{1}=-1-i \sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{3}-i.

Barisal · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} মনে করি, z1=−1−3i\mathrm{z}_{1}=-1-\sqrt{3} \mathrm{i} এর বর্গমূল, −1−3i=a−ib;a,b∈R\sqrt{-1-\sqrt{3}} i=a-i b ; a, b \in \mathbb{R} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) বা, −1−3i=a2−i2ab+i2b2-1-\sqrt{3} i=a^{2}-i 2 a b+i^{2} b^{2} [বর্গ করে] বা, −1−3i=a2−b2−i2ab[∵i2=−1]-1-\sqrt{3} \mathrm{i}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}-\mathrm{i} 2 \mathrm{ab}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] বা, (a2−b2)−i2ab=−1−3i\left(a^{2}-b^{2}\right)-i 2 a b=-1-\sqrt{3} i
…….(ii)(ii)\ldots\ldots. (ii) (ii)
নং সমীকরণের উভয় পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব রাশি সমীকৃত করে পাই, a2−b2=−1a^{2}-b^{2}=-1 …...(iii)\ldots... (iii) এবং 2ab=32 \mathrm{ab}=\sqrt{3} ……(iv)\ldots\ldots (iv) আবার, (a2+b2)2=(a2−b2)2+4a2b2\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+4 a^{2} b^{2} =(a2−b2)2+(2ab)2=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}+(2 a b)^{2} =(−1)2+(3)2=1+3=4=(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4 ∴a2+b2=2\therefore \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=2
…...(v)(v)\ldots... (v) (v)
নং ও (iii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 2a2=12 a^{2}=1 বা, a2=12a^{2}=\frac{1}{2} ∴a=±12\therefore \quad a= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (v) নং সমীকরণ হতে (iii)নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই, 2b2=32 b^{2}=3 বা, b2=32b^{2}=\frac{3}{2} ∴b=±32\therefore b= \pm \sqrt{\frac{3}{2}} a ও b এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, −1−3i=±12−i(±32)=±12(1−3i)\sqrt{-1-\sqrt{3} i}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}-i\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\sqrt{3} i) নির্ণেয় বর্গমূল : ±12(1−3i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\sqrt{3} i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} এবং z2=3−i\mathrm{z}_{2}=\sqrt{3}-\mathrm{i} Argz1=−π+tan⁡−1∣yx∣[∵Arg z_{1} =-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right|[\because বিন্দুতে ৩য় চতুর্ভাগে] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| =−π+tan⁡−1(3)=−π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} এবং Arg⁡z2=−tan⁡−1∣yx∣[∵\operatorname{Arg} z_{2}=-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| \quad[\because বিন্দুতে ৪র্থ চতুর্ভাগে] =−tan⁡−1∣−13∣=−tan⁡−1(13)=−π6=-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right|=-\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6} ∴z1z2=−1−3i3−i\therefore \frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}} =(−1−3i)(3+i)(3−i)(3+i)=\frac{(-1-\sqrt{3} i)(\sqrt{3}+\mathrm{i})}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})} [লব ও হরকে হরের অনুবদ্ধী জটিল সংখ্যা (3−i)(\sqrt{3}-i) দ্বারা গুণ করে] =−3−i−3i−3i2(3)2−i2=−3−4i+33+1[∵i2=−1]=\frac{-\sqrt{3}-\mathrm{i}-3 \mathrm{i}-\sqrt{3} \mathrm{i}^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-\mathrm{i}^{2}}=\frac{-\sqrt{3}-4 \mathrm{i}+\sqrt{3}}{3+1}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =−4i4=−i=0−i=\frac{-4 i}{4}=-i=0-i বামপক্ষ =Arg⁡(z1z2)=−tan⁡−1∣−10∣=−tan⁡−1(∞)=−π2=\operatorname{Arg}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{0}\right|=-\tan^{-1}(\infty)=-\frac{\pi}{2} ডানপক্ষ =Argz⁡1−Argz⁡2=\operatorname{Argz}_{1}-\operatorname{Argz}_{2} =−2π3−(−π6)=−2π3+π6=−4π+π6=−3π6=−π2=-\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{-4 \pi+\pi}{6}=\frac{-3 \pi}{6}=-\frac{\pi}{2} ∴Arg⁡(z1z2)=Arg⁡z1−Arg⁡z2\therefore \operatorname{Arg}\left(\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}\right)=\operatorname{Arg} \mathrm{z}_{1}-\operatorname{Arg} \mathrm{z}_{2}. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_{1}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} ∴zˉ1=−1+i3\therefore \bar{z}_{1}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3} ∴(12zˉ1)n+(12z1)n={12(−1+3i)}n+{12(−1−3i)}n\therefore \quad\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} \mathrm{i})\right\}^{\mathrm{n}}+\left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} \mathrm{i})\right\}^{\mathrm{n}} =ωn+(ω2)n=ωn+ω2n=\omega^{\mathrm{n}}+\left(\omega^{2}\right)^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\omega^{2 \mathrm{n}} এখানে, n=3mn=3 m হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=\omega^{n}+\omega^{2 n} =ω3 m+(ω2)3 m=\omega^{3 \mathrm{~m}}+\left(\omega^{2}\right)^{3 \mathrm{~m}} =(ω3)m+(ω3)2 m=\left(\omega^{3}\right)^{\mathrm{m}}+\left(\omega^{3}\right)^{2 \mathrm{~m}} =1+1[∵ω3=1]=1+1\left[\because \omega^{3}=1\right] =2=2 n=3 m+1\mathrm{n}=3 \mathrm{~m}+1 शबन, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{z}_{1}\right)^{\mathrm{n}}=\omega^{\mathrm{n}}+\omega^{2 \mathrm{n}} =ω3m+1+(ω2)3m+1=\omega^{3 m+1}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+1} =(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \cdot \omega^{2} =ω+ω2[∵ω3=1]=\omega+\omega^{2}\left[\because \omega^{3}=1\right] n=3m+2n=3 m+2 হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=\omega^{n}+\omega^{2 n} =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =ω3m+2+(ω2)3m+2=\omega^{3 m+2}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+2} =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=\left(\omega^{3}\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^{2}+\left(\omega^{3}\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^{2}\right)^{2} =1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω=ω2+ω=1 \cdot \omega^{2}+1 \cdot \omega^{3} \cdot \omega=\omega^{2}+\omega =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] অতত্রব, (12zˉ1)n+(12z1)n=2\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=2, যখন nn এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা, (12zˉ1)n+(12z1)n=−1\left(\frac{1}{2} \bar{z}_{1}\right)^{n}+\left(\frac{1}{2} z_{1}\right)^{n}=-1 যখন nn এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন