Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।যখন z=x+iy.z=x+iy.z=x+iy.

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এটিই হলো নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।যখন z=x+iy.z=x+iy.z=x+iy.

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z1=1−3i,z2=1−i\mathrm{z}_{1}=1-3 \mathrm{i}, \mathrm{z}_{2}=1-\mathrm{i} দৃশ্যকল্প-২: ∣z−3∣−∣z+3∣=4|z-3|-|z+3|=4

Dinajpur · 2022

উত্তর

দেওয়া আছে, (2+i)(x+iy)=1+3i(2+\mathrm{i})(\mathrm{x}+\mathrm{iy})=1+3 \mathrm{i} বা, 2x+2yi+xi+yi2=1+3i2 x+2 y i+x i+y i^{2}=1+3 i বা, (2x−y)+i(x+2y)=1+3i[∵i2=−1](2 \mathrm{x}-\mathrm{y})+\mathrm{i}(\mathrm{x}+2 \mathrm{y})=1+3 \mathrm{i}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, 2x−y=12 x-y=1 বা, y=2x−1……..(i)y=2 x-1\ldots\ldots.. (i) এবং x+2y=3\mathrm{x}+2 \mathrm{y}=3 বা, x+2(2x−1)=3\mathrm{x}+2(2 \mathrm{x}-1)=3[(1) নং হতে ] বা, x+4x−2=3x+4 x-2=3 বা, 5x˙=55 \dot{\mathrm{x}}=5 ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 (1) নং হতে পাই, y=2×1−1=1\mathrm{y}=2 \times 1-1=1 নির্ণেয় মান : x=1,y=1\mathrm{x}=1, \mathrm{y}=1. বিকল্প পদ্ধতি দেওয়া আছে, (2+i)(x+iy)=1+3i(2+\mathrm{i})(\mathrm{x}+\mathrm{iy})=1+3 \mathrm{i} বা, x+iy=1+3i2+ix+i y=\frac{1+3 i}{2+i} =(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=2+6i−i−3i24−i2=5+5i5=1+i=\frac{(1+3 \mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=\frac{2+6 \mathrm{i}-\mathrm{i}-3 \mathrm{i}^{2}}{4-\mathrm{i}^{2}}=\frac{5+5 \mathrm{i}}{5}=1+\mathrm{i} বা, x+iy=1+ix+i y=1+i উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, x=1\mathrm{x}=1 এবং y=1\mathrm{y}=1. নির্ণেয় মান : x=1,y=1\mathrm{x}=1, \mathrm{y}=1.

উত্তর

এখন, z1z2=(1−3i)(1−i)\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}=(1-3 \mathrm{i})(1-\mathrm{i}) =1−i−3i+3i2=1-\mathrm{i}-3 \mathrm{i}+3 \mathrm{i}^{2} =1−3−4i[∵i2=−1]=1-3-4 \mathrm{i}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =−2−4i=-2-4 \mathrm{i} ∴z1z2=−2−4i\therefore \sqrt{\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}}=\sqrt{-2-4 \mathrm{i}} ধরি, −2−4i=x+iy\sqrt{-2-4 \mathrm{i}}=x+i y বা, −2−4i=(x+iy)2-2-4 \mathrm{i}=(\mathrm{x}+\mathrm{iy})^{2} [বর্গ কর] বা, −2−4i=x2+2,x⋅iy+(iy)2-2-4 i=x^{2}+2, x \cdot i y+(i y)^{2} বা, −2−4i=x2−y2+2ixy-2-4 i=x^{2}-y^{2}+2 i x y এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, x2−y2=−2……..(1)x^{2}-y^{2}=-2\ldots\ldots.. (1) এবং 2xy=−4……..(2)2 x y=-4 \ldots\ldots.. (2) অর্থাৎ, x\mathrm{x} ও y\mathrm{y} বিপরীত চিহ্যুক্ত হবে। এখন, (x2+y2)2=(x2−y2)2+4x2y2=(−2)2+(−4)2[(1) নং ও (2) নং হতে ]=4+16=20\begin{aligned}\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)^{2} & =\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}\right)^{2}+4 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}^{2} \\& =(-2)^{2}+(-4)^{2}[(1) \text{ নং ও }(2) \text{ নং হতে }] \\& =4+16=20\end{aligned} ∴x2+y2=20=25…..(3)\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\ldots.. (3) (3) নং ও (1) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, x2+y2+x2−y2=25−2x^{2}+y^{2}+x^{2}-y^{2}=2 \sqrt{5}-2 বা, 2x2=25−22 x^{2}=2 \sqrt{5}-2 বা, x2=5−1x^{2}=\sqrt{5}-1 ∴x=±5−1\therefore \mathrm{x}= \pm \sqrt{\sqrt{5}-1} আবার, (3) নং হতে (2) নং বিয়োগ করে পাই, x2+y2−x2+y2=25+2x^{2}+y^{2}-x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{5}+2 বা, 2y2=25+22 y^{2}=2 \sqrt{5}+2 বা, y2=5+1\mathrm{y}^{2}=\sqrt{5}+1 ∴y=±5+1\therefore \mathrm{y}= \pm \sqrt{\sqrt{5}+1} −2−4i=±(5−1−i5+1)[∵x\sqrt{-2-4 i}= \pm(\sqrt{\sqrt{5}-1}-\mathrm{i} \sqrt{\sqrt{5}+1})[\because \mathrm{x} ও y\mathrm{y} বিপরীত চিহ্নযুক্ত] নির্ণেয় z1z2=±(5−1−i5+1)\sqrt{\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}}= \pm(\sqrt{\sqrt{5}-1}-\mathrm{i} \sqrt{\sqrt{5}+1}).

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, ∣z−3∣−∣z+3∣=4|z-3|-|z+3|=4 এবং z=x+iyz=x+i y ∴∣x+iy−3∣−∣x+iy+3∣=4\therefore|\mathrm{x}+\mathrm{iy}-3|-|\mathrm{x}+\mathrm{iy}+3|=4 বা, ∣x+iy−3∣=4+∣x+iy+3∣|x+i y-3|=4+|x+i y+3| বা, (x−3)2+y2=4+(x+3)2+y2\sqrt{(\mathrm{x}-3)^{2}+\mathrm{y}^{2}}=4+\sqrt{(\mathrm{x}+3)^{2}+\mathrm{y}^{2}} বা, (x−3)2+y2=16+(x+3)2+y2+2⋅4⋅(x+3)2+y2(x-3)^{2}+y^{2}=16+(x+3)^{2}+y^{2}+2 \cdot 4 \cdot \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} [বর্গ করে] বা, x2−6x+9+y2=16+x2+6x+y+y2+8(x+3)2+y2x^{2}-6 x+9+y^{2}=16+x^{2}+6 x+y+y^{2}+8 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} বা, −6x−6x−16=8(x+3)2+y2-6 x-6 x-16=8 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} বা, −12x−16=8(x+3)2+y2-12 x-16=8 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} বা, 3x+4=−2(x+3)2+y23 x+4=-2 \sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}} বা, (3x+4)2=4{(x+3)2+y2}(3 \mathrm{x}+4)^{2}=4\left\{(\mathrm{x}+3)^{2}+\mathrm{y}^{2}\right\} [বর্গ করে] বা, 9x2+16+24x=4(x2+9+6x+y2)9 x^{2}+16+24 x=4\left(x^{2}+9+6 x+y^{2}\right) বা, 9x2+24x+16=4x2+4y2+24x+369 x^{2}+24 x+16=4 x^{2}+4 y^{2}+24 x+36 ∴5x2−4y2=20\therefore 5 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{y}^{2}=20 এটিই হলো নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন