Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] এককের ঘনমূলগুলোর একটি জটিল মূল।

উত্তর: দেওয়া আরে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে, , যেখানে এককের ঘনমূলগুলোর একটি জটিল মূল।

উদ্দীপক

f(x)=2x1+x2f(x)=\frac{2 x}{1+x^{2}} এবং g(x)=p+qx+rx2g(x)=\mathbf{p}+\mathbf{q x}+\mathbf{r x}^{2} দুইটি ফাংশন।

Sylhet · 2022

উত্তর

Z=1+2i1−3i\mathbf{Z}=\frac{1+2 \mathrm{i}}{1-3 \mathrm{i}} এর মডুলাস =∣1+2i1−3i∣=\left|\frac{1+2 \mathrm{i}}{1-3 \mathrm{i}}\right| =∣1+2i∣∣1−3i∣=12+2212+(−3)2=510=12=\frac{|1+2 \mathrm{i}|}{|1-3 \mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x1+x2\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}} ∴f(1)=2⋅11+12=1\therefore f(1)=\frac{2 \cdot 1}{1+1^{2}}=1 ∴f(1)\therefore f(1) এর ঘনমূল =f(1)3=13=\sqrt[3]{\mathrm{f}(1)}=\sqrt[3]{1} ধরি, x=13x=\sqrt[3]{1} বা, x3=1x^{3}=1 বা, x3−13=0x^{3}-1^{3}=0 বা, (x−1)(x2+x+1)=0(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=0 হয়, x−1=0x-1=0 অথবা, x2+x+1=0x^{2}+x+1=0 বা, x=1x=1 বা, x=−1±12−4⋅1.12.1=−1±−32x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^{2}-4 \cdot 1.1}}{2.1}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} ∴f(1)\therefore f(1) এর ঘনমূলগুলো 1;−1+−32,−1−−321 ; \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}.

উত্তর

দেওয়া আরে, g(x)=p+qx+rx2g(x)=p+q x+r x^{2} ∴g(ω)=p+pω+rω2\therefore \mathrm{g}(\omega)=\mathrm{p}+\mathrm{p} \omega+\mathrm{r} \omega^{2} g(ω2)=p+qω2+rω4=p+qω2+rωg\left(\omega^{2}\right)=p+q \omega^{2}+r \omega^{4}=p+q \omega^{2}+r \omega এবং p+q+r=0p+q+r=0 বামপক্ষ ={g(ω)}2+{g(ω2)}2=\{g(\omega)\}^{2}+\left\{g\left(\omega^{2}\right)\right\}^{2} =(p+qω+rω2)2+(p+qω2+rω)2=\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r} \omega^{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega^{2}+\mathrm{r} \omega\right)^{2} =p2+q2ω2+r2ω4+2pqω+2qrω3+2rpω2+p2+q2ω4+r2ω2+2pqω2+2qrω3+2rpω=p^{2}+q^{2} \omega^{2}+r^{2} \omega^{4}+2 p q \omega+2 q r \omega^{3}+2 r p \omega^{2}+p^{2}+q^{2} \omega^{4}+r^{2} \omega^{2}+2 p q \omega^{2}+2 q r \omega^{3}+2 r p \omega =p2+q2ω2+r2ω+2pqω+2qr+2rpω2+p2+q2(t)+r2ω2+2pq(ω2+2qr+2rpω[∵ω3=1]=\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2} \omega^{2}+\mathrm{r}^{2} \omega+2 \mathrm{pq} \omega+2 \mathrm{qr}+2 \mathrm{rp} \omega^{2}+\mathrm{p}^{2}+\mathrm{q}^{2}(t)+\mathrm{r}^{2} \omega^{2}+2 \mathrm{pq}\left(\omega^{2}+2 \mathrm{qr}+2 \mathrm{rp} \omega\left[\because \omega^{3}=1\right]\right. =2p2+q2(ω2+ω)+r2(ω+ω2)+2pq(ω+ω2)+4qr+2rp(ω2+ω)=2 p^{2}+q^{2}\left(\omega^{2}+\omega\right)+r^{2}\left(\omega+\omega^{2}\right)+2 p q\left(\omega+\omega^{2}\right)+4 q r+2 r p\left(\omega^{2}+\omega\right) =2p2−q2−r2−2pq+4qr−2rp[∵1+ω+ω2=0]=2 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}-\mathrm{r}^{2}-2 \mathrm{pq}+4 \mathrm{qr}-2 \mathrm{rp}\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =2p2−(q2+r2)+4qr−2p(q+r)=2 \mathrm{p}^{2}-\left(\mathrm{q}^{2}+\mathrm{r}^{2}\right)+4 \mathrm{qr}-2 \mathrm{p}(\mathrm{q}+\mathrm{r}) =2p2−{(q+r)2−2qr}+4qr−2p(−p)[∵p+q+r=0]=2 \mathrm{p}^{2}-\left\{(\mathrm{q}+\mathrm{r})^{2}-2 \mathrm{qr}\right\}+4 \mathrm{qr}-2 \mathrm{p}(-\mathrm{p})[\because \mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=0] =2p2−{(−p)2−2qr}+4qr+2p2=2 \mathrm{p}^{2}-\left\{(-\mathrm{p})^{2}-2 \mathrm{qr}\right\}+4 \mathrm{qr}+2 \mathrm{p}^{2} =2p2−p2+2qr+4qr+2p2=2 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{p}^{2}+2 \mathrm{qr}+4 \mathrm{qr}+2 \mathrm{p}^{2} =3p2+6qr=3(p2+2qr)==3 p^{2}+6 q r=3\left(p^{2}+2 q r\right)= ডানপক্ষ ∴{g(ω)}2+{g(ω2)}2=3(p2+2qr)\therefore\{g(\omega)\}^{2}+\left\{g\left(\omega^{2}\right)\right\}^{2}=3\left(p^{2}+2 q r\right) (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন