Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] এবং [গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তরে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। [গণিত] অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমানিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

যদি এবং এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হয় তরে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

i. x+y+z=Rx+y+z=R ii. p=x+iyp=x+i y

Jessore · 2023

উত্তর

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা =−1−3i=-1-\sqrt{3} \mathrm{i} সংখ্যাটি আর্গুমেন্ট =−π+tan⁡−1∣yx∣[∵=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|[\because বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=−π+tan⁡−13=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right|=-\pi+\tan^{-1} \sqrt{3} =−π+tan⁡−1tan⁡π3=−π+π3=−3π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{3}=-\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{-3 \pi+\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় আর্গুমেন্ট : −2π3-\frac{2 \pi}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, p=x+iy\mathrm{p}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} p জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, q=x−iyq=x-i y এখন, ∣p+3i∣=∣q+4∣|p+3 i|=|q+4| বা, ∣x+iy+3i∣=∣x−iy+4∣|x+i y+3 i|=|x-i y+4| বা, ∣x+i(3+y)∣=∣(x+4)−iy∣|x+i(3+y)|=|(x+4)-i y| বা, x2+(y+3)2=(x+4)2+(−y)2\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=\sqrt{(x+4)^{2}+(-y)^{2}} বা, x2+(y+3)2=(x+4)2+y2x^{2}+(y+3)^{2}=(x+4)^{2}+y^{2} [বর্গ করে] বা, x2+y2+6y+9=x2+8x+16+y2x^{2}+y^{2}+6 y+9=x^{2}+8 x+16+y^{2} বা, 8x+16=6y+98 x+16=6 y+9 বা, 8x−6y+7=08 x-6 y+7=0; যা সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে। নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, 8x−6y+7=08 x-6 y+7=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, x+y+z=Rx+y+z=R আবার, R=0∴x+y+z=0\mathrm{R}=0 \quad \therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 এখানে, ω\omega হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। ∴\therefore অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি =ω2=\omega^{2} ধরি, x+yω+zω2=ax+y \omega+z \omega^{2}=a এবং x+yω2+zω=bx+y \omega^{2}+z \omega=b ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=a3+b3\therefore \left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3}=a^{3}+b^{3} =(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) =(a+b)(a2+b2−ab)=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right) =(a+b){(a+b)2−2ab−ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-2 a b-a b\right\} =(a+b){(a+b)2−3ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-3 a b\right\} এখন, a+b=(x+yω+zω2)+(x+yω2+zω)\mathrm{a}+\mathrm{b} =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega+\mathrm{z} \omega^{2}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega^{2}+\mathrm{z} \omega\right) =2x+y(ω+ω2)+z(ω+ω2)=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}\left(\omega+\omega^{2}\right)+\mathrm{z}\left(\omega+\omega^{2}\right) =2x+y(−1)+z(−1)[∵1+ω+ω2=0∴ω+ω2=−1]=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}(-1)+\mathrm{z}(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0 \therefore \omega+\omega^{2}=-1\right] =2x−y−z=2 \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z} =3x−(x+y+z)=3 \mathrm{x}-(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}) =3x−0[∵x+y+z=0]=3 \mathrm{x}-0[\because \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0] =3x=3 \mathrm{x} এবং ab=(x+yω+zω2)(x+yω2+zω)a b=\left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right) =x2+xyω2+zxω+xyω+y2ω3+yzω2+zxω2+yzω4+z2ω3=x^{2}+x y \omega^{2}+z x \omega+x y \omega+y^{2} \omega^{3}+y z \omega^{2}+z x \omega^{2}+y z \omega^{4}+z^{2} \omega^{3} =x2+xy(ω2+ω)+zx(ω+ω2)+yz(ω+ω2)+y2+z2[∵ω3=1]=x^{2}+x y\left(\omega^{2}+\omega\right)+z x\left(\omega+\omega^{2}\right)+y z\left(\omega+\omega^{2}\right)+y^{2}+z^{2}\left[\because \omega^{3}=1\right] =x2+y2+z2−xy−yz−zx[∵1+ω+ω2=0]=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] =x2+(y+z)2−2yz−yz−x(y+z)=x^{2}+(y+z)^{2}-2 y z-y z-x(y+z) =x2+(−x)2−3yz−x(−x)[∵x+y+z=0]=x^{2}+(-x)^{2}-3 y z-x(-x)[\because x+y+z=0] =x2+x2−3yz+x2=x^{2}+x^{2}-3 y z+x^{2} =3x2−3yz=3 x^{2}-3 y z বামপক্ষ =(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=\left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3} =(a+b){(a+b)2−3ab}=(a+b)\left\{(a+b)^{2}-3 a b\right\} =3x{(3x)2−3(3x2−3yz)}=3 x\left\{(3 x)^{2}-3\left(3 x^{2}-3 y z\right)\right\} =3x(9x2−9x2+9yz)=3 x\left(9 x^{2}-9 x^{2}+9 y z\right) =3x×9yz=3 x \times 9 y z =27xyz==27 x y z= ডানপক্ষ ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=27xyz\therefore \left(x+y \omega+z \omega^{2}\right)^{3}+\left(x+y \omega^{2}+z \omega\right)^{3}=27 x y z (প্রমানিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti