Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এ, [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [ধরি, [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এ, হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : z1=−1+3iz_1 = -1+\sqrt{3}i এবং z2=1−3iz_2=1-\sqrt{3}i দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=l+mx+nx2g(x)=l+mx+nx^2

Rajshahi · 2023

উত্তর

z=iz =\sqrt{i} =122i=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2i} =121+2i−1=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i-1} =12(1+2i+i2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(1+2i+i^2\right)} =12(1+i)2=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+i)^2} ∴z=±12(1+i)\therefore z =\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1+3iz_{1}= -1+\sqrt{3} i এবং z2=1−3iz_{2} =1-\sqrt{3} i ∴z1z2=(−1+3i)(1−3i)\therefore z_{1} z_{2} =(-1+\sqrt{3} i)(1-\sqrt{3} i) =−1+3i+3i−3i2=-1+\sqrt{3} i+\sqrt{3} i-3 i^{2} =−1+23i+3=-1+2 \sqrt{3} i+3 =2+23i=2+2 \sqrt{3} i ∴L.H.S=arg⁡(z1z2)=tan⁡−1∣232∣\therefore L.H.S=\arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\tan^{-1}\left|\frac{2 \sqrt{3}}{2}\right| =tan⁡−1(3)=π3=\tan^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3} ∴arg⁡(z1)=π−tan⁡−1∣31∣\therefore \arg \left(z_{1}\right)=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{1}\right| =π−tan⁡−1π3=\pi-\tan^{-1}\frac{\pi}{3} =2π3=\frac{2 \pi}{3} ∴arg⁡(z2)=−tan⁡−1(31)\therefore \arg \left(z_{2}\right)=-\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) =−π3=-\frac{\pi}{3} ∴R⋅H⋅S=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\therefore R \cdot H \cdot S=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right) =2π3−π3=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{3} =π3=\frac{\pi}{3} ∴\therefore L.H.S =R⋅H⋅S=R \cdot H \cdot S (Proved)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=l+mx+nx2\mathrm{g}(\mathrm{x})=l+\mathrm{mx}+\mathrm{nx}^2 ∴g(ω)=l+mω+nω2\therefore \quad \mathrm{g}(\omega) =l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2 ∴g(ω2)\therefore \quad \mathrm{g}\left(\omega^2\right) =l+mω2+nω4=l+mω2+nω=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega^4=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega বামপক্ষ ={g(ω)}3+{g(ω2)}3=\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3 =(l+mω+nω2)3+(l+mω2+nω)3=\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2\right)^3+\left(l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right)^3 =x3+y3=\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3 [ধরি, x=l+mω+nω2,y=l+mω2+nω\mathrm{x}=l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2, \mathrm{y}=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega =(x+y)(x2−xy+y2)=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{y}^2\right) =(x+y){x2+(−1)xy+1⋅y2}=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+(-1) \mathrm{xy}+1 \cdot \mathrm{y}^2\right\} =(x+y){x2+(ω+ω2)xy+ω3y2}=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+\left(\omega+\omega^2\right) \mathrm{xy}+\omega^3 \mathrm{y}^2\right\} =(x+y)(x2+xyω+xyω2+y2ω3)=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{xy} \omega+\mathrm{xy} \omega^2+\mathrm{y}^2 \omega^3\right) =(x+y){x(x+yω)+yω2)(x+yω)}\left.=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)+\mathrm{y} \omega^2\right)(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)\right\} =(x+y)(x+yω)(x+yω2)=(x+y)(x+y \omega)\left(x+y \omega^2\right) =(l+mω+nω2+l+mω2+nω)(l+mω+nω2=\left(l+m \omega+n \omega^2+l+m \omega^2+n \omega\right)\left(l+m \omega+n \omega^2\right. +lω+mω3+nω)(l+mω+nω2+lω2+mω4+nω3)\left.+l \omega+m \omega^3+n \omega\right)\left(l+m \omega+n \omega^2+l \omega^2+m \omega^4+n \omega^3\right) ={2+m(ω+ω2)+n(ω+ω2)}{l(1+ω)=\left\{2+\mathrm{m}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{n}\left(\omega+\omega^2\right)\right\}\{l(1+\omega) +m(1+ω)+2nω2}{l(1+ω2)+2mω+n(1+ω2)}\left.+m(1+\omega)+2 n \omega^2\right\}\left\{l\left(1+\omega^2\right)+2 m \omega+n\left(1+\omega^2\right)\right\} =(2a−m−n)(−lω2−mω2+2nω2)(−lω+2mω−nω)=(2 a-m-n)\left(-l \omega^2-m \omega^2+2 n \omega^2\right)(-l \omega+2 m \omega-n \omega) =(2l−m−n)(−l−m+2n)(−l−n+2m)ω2.ω=(2 l-m-n)(-l-m+2 n)(-l-n+2 m) \omega^2 . \omega \left\{\[\begin{matrix} l+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0 \l=-\mathrm{m}-\mathrm{n} \\ \mathrm{m}=-l-\mathrm{n} \\ \mathrm{n}=-\mathrm{m}-l \end{matrix}\]\right. =(21−m−n)(2n−l−m)(2 m−l−n)=(21-m-n)(2 \mathrm{n}-l-m)(2 \mathrm{~m}-l-n) =(21+l)(2n+n)(2 m+m)=(21+l)(2 \mathrm{n}+\mathrm{n})(2 \mathrm{~m}+\mathrm{m}) =3l.3n.3 m=3 l .3 \mathrm{n} .3 \mathrm{~m} =27mn==27 \mathrm{mn}= ডানপক্ষ ∴{f(ω)}3+{f(ω2)}3=27lmn\therefore \quad\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\omega^2\right)\right\}^3=27 \mathrm{lmn}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন