Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ করে যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [ঘন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] সমীকরণটির উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব রাশি সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ করে যে,

উদ্দীপক

Z1=1−ixZ_{1}=1-i x এবং Z2=a+ibZ_{2}=a+i b যেখানে, a,b∈Ra, b \in R.

Chittagong · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=1z_{1}=1 - ix x=3x=\sqrt{3} হলে, z1=1−3iz_{1}=1-\sqrt{3} i ধরি, rcos⁡θ=1r \cos \theta=1 …….(i)\ldots\ldots. (i) rsin⁡θ=−3r \sin \theta=-\sqrt{3}
…..(ii)(i)\ldots.. (ii) (i)
নং ও (ii) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, r2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=1+(−3)2r^{2}\left(\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta\right)=1+(-\sqrt{3})^{2} বা, x2×1=1+3x^{2} \times 1=1+3 বা, r2=4r^{2}=4 ∴r=2\therefore r=2 (ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, rsin⁡θrcos⁡θ=−31\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=\frac{-\sqrt{3}}{1} বা, tan⁡θ=−3\tan \theta=-\sqrt{3} বা, tan⁡θ=−tan⁡π3\tan \theta=-\tan \frac{\pi}{3} বা, tan⁡θ=tan⁡(π−π3)\tan \theta=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) ∴θ=π−π3=2π3\therefore \theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} ∴Z1=1−3i\therefore Z_{1}=1-\sqrt{3} i এর পোলার আকার =r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r(\cos \theta+i \sin \theta) =2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)

উত্তর

দেওয়া আছে, Z1=1Z_{1}=1 - ix Z2=a+ib\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{ib} ∴Z1=1+ix\therefore \quad \mathrm{Z}_{1}=1+\mathrm{ix} এবং Z‾2=a−ib\overline{\mathrm{Z}}_{2}=\mathrm{a}-\mathrm{ib} এখানে, a2+b2=1a^{2}+b^{2}=1 এখন, Z1Z‾1=Z‾2\frac{\mathrm{Z}_{1}}{\overline{\mathrm{Z}}_{1}}=\overline{\mathrm{Z}}_{2} বা, 1−ix1+ix=a−ib\frac{1-\mathrm{ix}}{1+\mathrm{ix}}=\mathrm{a}-\mathrm{ib} বা, 1+ix1−ix=1a−ib\frac{1+\mathrm{ix}}{1-\mathrm{ix}}=\frac{1}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}} [বিপরীতকরণ করে] বা, 1+ix−1+ix1+ix+1−ix=−1−a+ib1+a−ib\frac{1+i x-1+i x}{1+i x+1-i x}=\frac{-1-a+i b}{1+a-i b} [বিয়োজন-যোজন করে] বা, \frac{2 i x}{2}=\frac{(1-a+i b)(1+a+i b)}{(1+a-i b}(1+a+i b)} বা, i x=\frac{(1+i b-a)(1+i b+a)}{(1+a}^{2}-(i b)^{2}} =(1+ib)2−a21+2a+a2−i2b2=1+2ib+i2b2−a21+2a+a2+b2[∵i2=−1]=\frac{(1+i b)^{2}-a^{2}}{1+2 a+a^{2}-i^{2} b^{2}}=\frac{1+2 i b+i^{2} b^{2}-a^{2}}{1+2 a+a^{2}+b^{2}}\left[\because i^{2}=-1\right] =1+2ib−(a2+b2)1+2a+a2+b2=1+2ib−11+2a+1[∵a2+b2=1]=\frac{1+2 i b-\left(a^{2}+b^{2}\right)}{1+2 a+a^{2}+b^{2}}=\frac{1+2 i b-1}{1+2 a+1}\left[\because a^{2}+b^{2}=1\right] বা, ix=2ib2(1+a)=ib1+ai x=\frac{2 i b}{2(1+a)}=\frac{i b}{1+a} ∴x=b1+a;\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{1+\mathrm{a}} ; যা x\mathrm{x} এর একটি বাস্তব মান এবং এটি Z1Z‾1=Z‾2\frac{\mathrm{Z}_{1}}{\overline{\mathrm{Z}}_{1}}=\overline{\mathrm{Z}}_{2} সমীকরণকে সিদ্ধ করে। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, Z2=a+ib;a,b∈R\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{ib} ; \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R} এবং Z23=p+iq\sqrt[3]{\mathrm{Z}_{2}}=\mathrm{p}+\mathrm{iq} বা, (a+ib)13=p+iq(a+i b)^{\frac{1}{3}}=p+i q বা, a+ib=(p+iq)3a+i b=(p+i q)^{3} [ঘন করে] বা, a+ib=p3+3⋅p2⋅iq+3⋅p(iq)2+(iq)3a+i b=p^{3}+3 \cdot p^{2} \cdot i q+3 \cdot p(i q)^{2}+(i q)^{3} বা, a+ib=p3+i3p2q+3p⋅i2q2+i3q3a+i b=p^{3}+i 3 p^{2} q+3 p \cdot i^{2} q^{2}+i^{3} q^{3} বা, a+ib=p3+i3p2q−3pq2−iq3[∵i2=−1]a+i b=p^{3}+i 3 p^{2} q-3 p q^{2}-i q^{3}\left[\because i^{2}=-1\right] ∴a+ib=(p3−3pqq2)+i(3p2q−q3)\therefore \quad \mathrm{a}+\mathrm{ib}=\left(\mathrm{p}^{3}-3 \mathrm{pq} \mathrm{q}^{2}\right)+\mathrm{i}\left(3 \mathrm{p}^{2} \mathrm{q}-\mathrm{q}^{3}\right) সমীকরণটির উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব রাশি সমীকৃত করে পাই, a=p3−3pq2\quad a=p^{3}-3 p q^{2} এবং b=3p2q−q3b=3 p^{2} q-q^{3} ∴ap−bq=p3−3pq2p−3p2q−q3q\therefore \frac{a}{p}-\frac{b}{q} =\frac{p^{3}-3 p q^{2}}{p}-\frac{3 p^{2} q-q^{3}}{q} =(p2−3q2)−(3p2−q2)=\left(p^{2}-3 q^{2}\right)-\left(3 p^{2}-q^{2}\right) =p2−3q2−3p2+q2=p^{2}-3 q^{2}-3 p^{2}+q^{2} =−2p2−2q2=−2(p2+q2)=-2 p^{2}-2 q^{2}=-2\left(p^{2}+q^{2}\right) ∴−2(p2+q2)=ap−bq⋅\therefore \quad-2\left(p^{2}+q^{2}\right)=\frac{a}{p}-\frac{b}{q} \cdot (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন