Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] , যখন S এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] সমীকরণটির মূলদ্বয় [গণিত] হওয়ায়, [গণিত] এবং [গণিত] এখন s, 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] আবার, [গণিত] দ্বারা অবিভাজ্য হলে, [গণিত] সুতরাং দেখা যাচ্ছে, s এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, , যখন S এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যা।

উদ্দীপক

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এবং p2+p+1=0\mathrm{p}^2+\mathrm{p}+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta।

Mymensingh · 2023

উত্তর

−24014=(±49i)24={492(±2i)}24\sqrt[4]{-2401}=\sqrt[4]{( \pm 49 i)^2} =\sqrt[4]{\left\{\frac{49}{2}( \pm 2 i)\right\}^2} =[{492(1±2i+i2)}2]14[∵i2=−1]=\left[\left\{\frac{49}{2}\left(1 \pm 2 i+i^2\right)\right\}^2\right]^{\frac{1}{4}}\left[\because i^2=-1\right] ={492(1±i)2}12=±72(1±i)=\left\{\frac{49}{2}(1 \pm i)^2\right\}^{\frac{1}{2}}= \pm \frac{7}{\sqrt{2}}(1 \pm i) নির্ণেয় মান : ±72(1±i)\pm \frac{7}{\sqrt{2}}(1 \pm i).

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x + iy এখন, ∣z+4∣+∣z−4∣=10|z+4|+|z-4|=10 বা, ∣x+iy+4∣+∣x+iy−4∣=10|x+i y+4|+|x+i y-4|=10 বা, ∣(x+4)+iy∣+∣(x−4)+iy∣=10|(x+4)+i y|+|(x-4)+i y|=10 বা, (x+4)2+y2+(x−4)2+y2=10\sqrt{(x+4)^2+y^2}+\sqrt{(x-4)^2+y^2}=10 বা, (x+4)2+y2=10−(x−4)2+y2\sqrt{(x+4)^2+y^2}=10-\sqrt{(x-4)^2+y^2} বা, ((x+4)2+y2)2={10−(x−4)2+y2}2\left(\sqrt{(x+4)^2+y^2}\right)^2=\left\{10-\sqrt{(x-4)^2+y^2}\right\}^2 [বর্গ করে] বা, (x+4)2+y2=100−20(x−4)2+y2+{(x−4)2+y2}2(x+4)^2+y^2=100-20 \sqrt{(x-4)^2+y^2}+\left\{\sqrt{(x-4)^2+y^2}\right\}^2 বা, (x+4)2+y2=100−20(x−4)2+y2+(x−4)2+y2(x+4)^2+y^2=100-20 \sqrt{(x-4)^2+y^2}+(x-4)^2+y^2 বা, (x+4)2−(x−4)2=100−20(x−4)2+y2(x+4)^2-(x-4)^2=100-20 \sqrt{(x-4)^2+y^2} বা, 4. x⋅4=100−20(x−4)2+y2x \cdot 4=100-20 \sqrt{(x-4)^2+y^2} বা, 4x=25−5(x−4)2+y24 \mathrm{x}=25-5 \sqrt{(\mathrm{x}-4)^2+\mathrm{y}^2} বা, 5(x−4)2+y2=25−4x5 \sqrt{(x-4)^2+y^2}=25-4 x বা, {5(x−4)2+y2}2=(25−4x)2\left\{5 \sqrt{(x-4)^2+y^2}\right\}^2=(25-4 x)^2 [পুনরায় বর্গ করে] বা, 25(x2−8x+16+y2)=625−200x+16x225\left(x^2-8 x+16+y^2\right)=625-200 x+16 x^2 বা, 25x2−200x+400+25y2=16x2−200x+62525 x^2-200 x+400+25 y^2=16 x^2-200 x+625 বা, 9x2+25y2=2259 x^2+25 y^2=225 বা, 9x2+25y2225=1\frac{9 x^2+25 y^2}{225}=1 বা, x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1; এটিই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

উত্তর

দেওয়া আছে, p2+p+1=0p^2+p+1=0 বা, p=−1±12−4.1.12.1=−1±−32=−1+−32,−1−−32=ω,ω2p=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4.1 .1}}{2.1}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}=\omega, \omega^2 সমীকরণটির মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হওয়ায়, α=ω\alpha=\omega এবং β=ω2\beta=\omega^2 ∴αs+βs=ωs+(ω2)s=ωs+ω2s\therefore \alpha^s+\beta^s=\omega^s+\left(\omega^2\right)^s=\omega^s+\omega^{2 s} এখন s, 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, s=3 m, m∈Z\mathrm{s}=3 \mathrm{~m}, \mathrm{~m} \in \mathbb{Z} ∴ωs+ω2s=ω3 m+(ω2)3 m=(ω3)m+(ω3)2 m\therefore \omega^s+\omega^{2 s} =\omega^{3 \mathrm{~m}}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}}=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}}+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} =1+1[∵ω3=1]=1+1\left[\because \omega^3=1\right] =2=2 s,3\mathrm{s}, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, s=3 m+1\mathrm{s}=3 \mathrm{~m}+1 ∴ωs+ω2s=ω3 m+1+(ω2)3 m+1\therefore \omega^s+\omega^{2 s} =\omega^{3 \mathrm{~m}+1}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}+1} =(ω3)m⋅ω+(ω3)2 m⋅ω2=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^2 \mathrm{~m} \cdot \omega^2 =1⋅ω+1⋅ω2[∵ω3=1]=1 \cdot \omega+1 \cdot \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] =ω+ω2=\omega+\omega^2 =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] আবার, s,3s, 3 দ্বারা অবিভাজ্য হলে, s=3m+2s=3 m+2 =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^2\right)^2 =1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω[∵ω3=1]=1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega^3 \cdot \omega\left[\because \omega^3=1\right] =ω2+ω=\omega^2+\omega =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] সুতরাং দেখা যাচ্ছে, s এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য নয় এরূপ পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, αs+βs=−1\alpha^s+\beta^s=-1. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন