Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] a=x=3 এবং [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমূল। এখন, [গণিত] বামপক্ষ, [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] pqr. (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, pqr যেখানে এককের কাল্পনিক ঘনমুল এ…

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

উত্তর

15+8i=16+8i−1=42+2⋅4.i+i2=(4+i)215+8 i=16+8 i-1=4^2+2 \cdot 4 . i+i^2=(4+i)^2 ∴15+8=±(4+i)2=±(4+i)\therefore \sqrt{15+8}= \pm \sqrt{(4+i)^2}= \pm(4+i) নির্ণেয় বর্গমূল ± (4+1).

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=∣x−3∣f(x)=|x-3| এখানে, f(x)<17f(x)<\frac{1}{7} বা, ∣x−3∣<17|x-3|<\frac{1}{7}……………(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(1) বা, ∣x−3∣+6<17+6|x-3|+6<\frac{1}{7}+6 [উভয়পক্ষে 6 যোগ করে] বা, ∣x−3∣+∣6∣<1+427|x-3|+|6|<\frac{1+42}{7} বা, ∣x−3+6∣≤∣x−3∣+∣6∣<437[∵∣b+c∣≤∣b∣+∣c∣]|x-3+6| \leq|x-3|+|6|<\frac{43}{7}[\because|b+c| \leq|b|+|c|] বা, ∣x−3+6∣<437|x-3+6|<\frac{43}{7} বা, ∣x+3∣<437|x+3|<\frac{43}{7}
……………(2)(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(2) (1)
ও (2) নং গুণ করে পাই, ∣x−3∣.∣x+3∣<17⋅437|x-3| .|x+3|<\frac{1}{7} \cdot \frac{43}{7} বা, ∣(x−3)(x+3)∣<4349[∵∣b∣∣c∣=∣bc∣]|(x-3)(x+3)|<\frac{43}{49}[\because|b||c|=|b c|] বা, ∣x2−32∣<4349\left|x^2-3^2\right|<\frac{43}{49} ∴∣x2−9∣<4349\therefore\left|x^2-9\right|<\frac{43}{49}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=p+qx+rx2g(x)=p+q x+r x^2 এখন, p+q+r=0p+q+r=0 a=x=3 এবং ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমূল। এখন, g(ω)=p+qω+rω2\g(ω2)=p+qω2+rω4=p+qω2+rω⋅ω3=p+qω2+rω⋅1[∵ω3=1]=p+qω2+rω\begin{aligned} g(\omega) & =p+q \omega+r \omega^2 \g\left(\omega^2\right) & =p+q \omega^2+r \omega^4=p+q \omega^2+r \omega \cdot \omega^3 \\ & =p+q \omega^2+r \omega \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =p+q \omega^2+\mathrm{r} \omega\end{aligned} {g(ω)}+{g(ω2)}=p+qω+rω2+p+qω2+rω=2p+qω+qω2+rω+rω2=2p+q(ω+ω2)+r(ω+ω2)=2p+q⋅(−1)+r⋅(−1)[∵1+ω+ω2=0]=2p−q−r=2p−(q+r)=2p−(−p)[∵p+q+r=0]=2p+p=3p\begin{aligned}\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\} & =p+q \omega+r \omega^2+p+q \omega^2+r \omega \\ & =2 p+q \omega+q \omega^2+\mathrm{r} \omega+\mathrm{r} \omega^2 \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{q}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{r}\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{q} \cdot(-1)+\mathrm{r} \cdot(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =2 \mathrm{p}-\mathrm{q}-\mathrm{r}=2 \mathrm{p}-(\mathrm{q}+\mathrm{r}) \\ & =2 \mathrm{p}-(-\mathrm{p})[\because \mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=0] \\ & =2 \mathrm{p}+\mathrm{p}=3 \mathrm{p}\end{aligned} {g(ω)}⋅{g(ω2)}=(p+qω+rω2)(p+qω2+rω)=p2+pqω2+rpω+pqω+q2ω3+qrω2+rpω2+qrω4+r2ω3=p2+pqω2+rpω+pqω+q2ω3+qrω2+rpω2+qrω⋅ω3+r2ω3=p2+pqω2+rpω+pqω+q2⋅1+qrω2+rpω2+qrω⋅1+r2⋅1[∵ω3=1]=p2+q2+r2+pqω+pqω2+qrω+qrω2+ppω+rpω2=p2+q2+r2+pq(ω+ω2)+qr(ω+ω2)+pp(ω+ω2)=p2+q2+r2+pq⋅(−1)+qr.(−1)+rp.(−1)[∵1+ω+ω2=0]=p2+q2+r2−pq−qr+rp=p2+(q+r)2−3qr−p(q+r)=p2+(−p)2−3qr−p.(−p)[∵p+q+r=0]=p2+p2−3qr+p2=3p2−3qr\begin{aligned} & \{\mathrm{g}(\omega)\} \cdot\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}=\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r} \omega^2\right)\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r} \omega\right) \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \omega^3+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega^4+\mathrm{r}^2 \omega^3 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \omega^3+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega \cdot \omega^3+\mathrm{r}^2 \omega^3 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{rp} \omega+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{q}^2 \cdot 1+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{rp} \omega^2+\mathrm{qr} \omega \cdot 1+\mathrm{r}^2 \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq} \omega+\mathrm{pq} \omega^2+\mathrm{qr} \omega+\mathrm{qr} \omega^2+\mathrm{pp} \omega+\mathrm{rp} \omega^2 \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{qr}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{pp}\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2+\mathrm{pq} \cdot(-1)+\mathrm{qr} .(-1)+\mathrm{rp} .(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2+\mathrm{r}^2-\mathrm{pq}-\mathrm{qr}+\mathrm{rp} \\ & =\mathrm{p}^2+(\mathrm{q}+\mathrm{r})^2-3 \mathrm{qr}-\mathrm{p}(\mathrm{q}+\mathrm{r}) \\ & =\mathrm{p}^2+(-\mathrm{p})^2-3 \mathrm{qr}-\mathrm{p} .(-\mathrm{p})[\because \mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=0] \\ & =\mathrm{p}^2+\mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr}+\mathrm{p}^2=3 \mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr} \\ & \end{aligned} বামপক্ষ, ={g(ω)}3+{g(ω2)}3=[{g(ω)}+{g(ω2)}][{g(ω)}2−{g(ω)}⋅{g(ω2)}+{g(ω2)}2]=[{g(ω)}+g(ω2)}][[{g(ω)}+{g(ω2)}]2−3⋅{g(ω)}⋅{g(ω2)}]=3p⋅{(3p)2−3⋅(3p2−3qr)}=3p(9p2−9p2+9qr)=3p.9qr=27pqr=33pqr=axpqr[∵a=x=3]\begin{aligned} & =\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3 \\ & =\left[\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right]\left[\{g(\omega)\}^2-\{g(\omega)\} \cdot\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^2\right] \\ & \left.=\left[\{g(\omega)\}+g\left(\omega^2\right)\right\}\right]\left[\left[\{g(\omega)\}+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right]^2-3 \cdot\{g(\omega)\} \cdot\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}\right] \\ & =3 \mathrm{p} \cdot\left\{(3 \mathrm{p})^2-3 \cdot\left(3 \mathrm{p}^2-3 \mathrm{qr}\right)\right\} \\ & =3 \mathrm{p}\left(9 \mathrm{p}^2-9 \mathrm{p}^2+9 \mathrm{qr}\right) \\ & =3 \mathrm{p} .9 \mathrm{qr}=27 \mathrm{pqr}=3^3 \mathrm{pqr} \\ & =\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \mathrm{pqr} \quad[\because \mathrm{a}=\mathrm{x}=3]\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴{g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\therefore\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন