Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত) বিকল্প পদ্ধতি দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

z1=1+ix,z2=a+ib\mathrm{z}_{1}=1+\mathrm{ix}, \mathrm{z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{ib} এবং z3=x+iy\mathrm{z}_{3}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} তিনটি জটিল সংখ্যা।

Mymensingh · 2022

উত্তর

−3+i-\sqrt{3}+\mathrm{i} এর আর্গুনেন্ট, θ=π−tan⁡−1∣−13∣\theta=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right| [∵(−3,1)[\because(-\sqrt{3}, 1) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। =π−tan⁡−1(13)=π−π6=5π6=\pi-\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} নির্ণেয় আর্গুনেন্ট 5π6\frac{5 \pi}{6}

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=1+ix\mathrm{z}_{1}=1+\mathrm{ix} এবং z2=a+ib\mathrm{z}_{2}=\mathbf{a}+\mathrm{ib} এখন, ∣z2∣2=1\left|\mathrm{z}_{2}\right|^{2}=1 হলে, (a2+b2)2=1\left(\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}\right)^{2}=1 বা, a2+b2=1a^{2}+b^{2}=1 আবার, z1‾z1=z2‾\frac{\overline{z_{1}}}{z_{1}}=\overline{z_{2}} বা, 1−ix1+ix=a−ib\frac{1-i x}{1+i x}=a-i b বা, 1−ix−1−ix1−ix+1+ix=a−ib−1a−ib+1\frac{1-i x-1-i x}{1-i x+1+i x}=\frac{a-i b-1}{a-i b+1} (বিয়োজন-যোজন করে) বা, −2ix2=a−1−ib(a+1)−ib\frac{-2 \mathrm{ix}}{2}=\frac{\mathrm{a}-1-\mathrm{ib}}{(\mathrm{a}+1)-\mathrm{ib}} বা, −ix=(a−1−ib)(a+1+ib){(a+1)−ib}{(a+1)+ib}-i x=\frac{(a-1-i b)(a+1+i b)}{\{(a+1)-i b\}\{(a+1)+i b\}} =a2+a+iab−a−1−ib−iab−ib−i2b2(a+1)2−(ib)2=\frac{a^{2}+a+i a b-a-1-i b-i a b-i b-i^{2} b^{2}}{(a+1)^{2}-(i b)^{2}} =a2+b2−1−2iba2+2a+1+b2=\frac{a^{2}+b^{2}-1-2 i b}{a^{2}+2 a+1+b^{2}} বা, −ix=1−1−2ib1+1+2a-\mathrm{ix}=\frac{1-1-2 \mathrm{ib}}{1+1+2 \mathrm{a}} বা, −ix=−2ib2(1+a)-\mathrm{ix}=\frac{-2 \mathrm{ib}}{2(1+\mathrm{a})} ∴x=ba+1;\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}+1} ; যা x\mathrm{x} এর একটি বাস্তবমান। ∴x\therefore \mathrm{x} এর একটি বাস্তব মান z1‾z1=z2‾\frac{\overline{z_{1}}}{\mathrm{z}_{1}}=\overline{z_{2}} সমীকরকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, z2=a+ibz_{2}=a+i b এবং z3=x+iyz_{3}=x+i y এখানে, z23=z3\sqrt[3]{z_{2}}=z_{3} বা, a+ib3=x+iy\sqrt[3]{a+i b}=x+i y বা, a+ib=(x+iy)3a+i b=(x+i y)^{3} বা, a+ib=x3+3x2⋅iy+3xi2y2+i3y3a+i b=x^{3}+3 x^{2} \cdot i y+3 x i^{2} y^{2}+i^{3} y^{3} বা, a+ib=x3−3xy2+i(3x2y−y3)a+i b=x^{3}-3 x y^{2}+i\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, a=x3−3xy2a=x^{3}-3 x y^{2} এবং b=3x2y−y3b=3 x^{2} y-y^{3} বামপক্ষ =∣z3∣=∣x+iy∣=x2+y2=\left|z_{3}\right|=|x+i y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ডানপক্ষ =b2y−a2x=\sqrt{\frac{b}{2 y}-\frac{a}{2 x}} =y(3x2−y2)2y−x(x2−3y2)2x=\sqrt{\frac{y\left(3 x^{2}-y^{2}\right)}{2 y}-\frac{x\left(x^{2}-3 y^{2}\right)}{2 x}} =3x2−y2−x2+3y22=2x2+2y22=x2+y2=\sqrt{\frac{3 x^{2}-y^{2}-x^{2}+3 y^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2 x^{2}+2 y^{2}}{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ∴∣z3∣=b2y−a2x\therefore\left|\mathrm{z}_{3}\right|=\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{y}}-\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{x}}} (প্রমাণিত) বিকল্প পদ্ধতি দেওয়া আছে, z2=a+ibz_{2}=a+i b z3=x+iy\mathrm{z}_{3}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখানে, z23=z3\sqrt[3]{z_{2}}=z_{3} বা, a+ib3=x+iy\sqrt[3]{a+i b}=x+i y বা, a+ib=(x+iy)3a+i b=(x+i y)^{3} বা, a+ib=x3+3x2⋅iy+3xi2y2+i3y3a+i b=x^{3}+3 x^{2} \cdot i y+3 x i^{2} y^{2}+i^{3} y^{3} বা, a+ib=x3−3xy2+i(3x2y−y3)a+i b=x^{3}-3 x y^{2}+i\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, a=x3−3xy2 এবং b=3x2y−y3 বামপক্ষ =∣z3∣=∣x+iy∣=x2+y2=2(x2+y2)2=3x2+3y2−x2−y22xy=3x3y+3xy3−x3y−xy32xy=x(3x2y−y3)−y(x3−3xy2)2xy=x(3x2y−y3)2xy−y(x3−3xy2)2xy=3x2y−y32y−x3−3xy22x=b2y−a2x= ডানপক্ষ ∴∣z3∣=b2y−a2x (প্রমাণিত) \begin{aligned}& a=x^{3}-3 x y^{2} \\& \text{ এবং } b=3 x^{2} y-y^{3} \\& \text{ বামপক্ষ }=\left|z_{3}\right| \\& =|x+i y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}} \\& =\sqrt{\frac{3 x^{2}+3 y^{2}-x^{2}-y^{2}}{2 x y}} \\& =\sqrt{\frac{3 x^{3} y+3 x y^{3}-x^{3} y-x y^{3}}{2 x y}} \\& =\sqrt{\frac{x\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)-y\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)}{2 x y}} \\& =\sqrt{\frac{x\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)}{2 x y}-\frac{y\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)}{2 x y}} \\& =\sqrt{\frac{3 x^{2} y-y^{3}}{2 y}-\frac{x^{3}-3 x y^{2}}{2 x}} \\& =\sqrt{\frac{b}{2 y}-\frac{a}{2 x}}=\text{ ডানপক্ষ } \\ & \therefore\left|\mathrm{z}_{3}\right|=\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{y}}-\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{x}}} \text{ (প্রমাণিত) }\end{aligned}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন