Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] জটিল মূলদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] ( (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় ও হলে, প্রমাণ কর যে, ।

উদ্দীপক

a=x3,b=8a=x^{3}, b=8.

Dinajpur · 2019

উত্তর

দেয়া আছে, b=8b=8 ∴bi=8i\therefore \mathrm{bi}=8 \mathrm{i} 8i8 \mathrm{i} এর বর্গমূল =8i=\sqrt{8 \mathrm{i}} মনে করি, 8i=x+iy…….(i)\sqrt{8 \mathrm{i}}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \ldots\ldots. (i) বা, 8i=(x+iy)28 \mathrm{i}=(\mathrm{x}+\mathrm{iy})^{2} [বর্গ করে] বা, 0+8i=x2−y2+i2xy0+8 i=x^{2}-y^{2}+i 2 x y উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই, ∴x2−y2=0\therefore \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}=0 …….(ii)\ldots\ldots. (ii) এবং 2xy=82 x y=8 এখন, (x2+y2)2=(x2−y2)2+4x2y2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+4 x^{2} y^{2} =0+(2xy)2=82=64=0+(2 x y)^{2}=8^{2}=64 ∴x2+y2=8……...(iii)\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=8 \ldots\ldots... (iii) (ii) ও (iii)নং যোগ করে পাই, 2x2=82 x^{2}=8 বা, x2=4x^{2}=4 বা, x=±2x= \pm 2 (ii)নং হতে (iii)নং বিয়োগ করে পাই, −2y2=−8-2 y^{2}=-8 বা, y2=4y^{2}=4 বা, y=±2y= \pm 2 (i) নং হতে, 8i=±2±i2\sqrt{8 \mathrm{i}}= \pm 2 \pm \mathrm{i} 2 =±2(1+i)= \pm 2(1+i) ∴8i\therefore 8 \mathrm{i} এর বর্গমূন =±2(1+i)= \pm 2(1+\mathrm{i}) নির্ণেয় বর্গমূল ±2(1+i)\pm 2(1+\mathrm{i}).

উত্তর

প্রশ্নমতে, =(2a−2a)10=\left(2 a-\frac{2}{a}\right)^{10} =(2x3−2x3)10[∵a=x3]=\left(2 x^{3}-\frac{2}{x^{3}}\right)^{10} \quad\left[\because a=x^{3}\right] মনে করি, (2x3−2x3)10\left(2 \mathrm{x}^{3}-\frac{2}{\mathrm{x}^{3}}\right)^{10} এর বিস্তৃতিতে (r+1)(\mathrm{r}+1) তম পদটি ধ্রুব পদ। ∴(r+1)\therefore(r+1) তম পদ =10Cr⋅(2x3)10−r⋅(−2x3)r={ }^{10} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot\left(2 \mathrm{x}^{3}\right)^{10-r} \cdot\left(\frac{-2}{\mathrm{x}^{3}}\right)^{r} =10Cr⋅210−r⋅x30−3r⋅(−2)r⋅x−3r={ }^{10} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot 2^{10-r} \cdot \mathrm{x}^{30-3 \mathrm{r}} \cdot(-2)^{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{x}^{-3 \mathrm{r}} =10Cr⋅210−r⋅(−2)r⋅x30−6r={ }^{10} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \cdot 2^{10-r} \cdot(-2)^{\mathrm{r}} \cdot \mathrm{x}^{30-6 r} ধ্রুব পদের জন্য, 30−6r=030-6 r=0 বা, 6r=306 r=30 বা, r=5r=5 ∴(5+1)\therefore(5+1) তম বা 6 তম পদটি ধ্রুব ∴\therefore ধ্রুব পদ =10C5⋅210−5⋅(−2)5={ }^{10} \mathrm{C}_{5} \cdot 2^{10-5} \cdot(-2)^{5} =10C5⋅25⋅(−2)5={ }^{10} \mathrm{C}_{5} \cdot 2^{5} \cdot(-2)^{5} =−10C5⋅210=-{ }^{10} \mathrm{C}_{5} \cdot 2^{10} =−258048=-258048 নির্ণেয় ধ্রুব পদের মান -258048

উত্তর

দেওয়া আছে, a−b=0a-b=0 বা, x3−8=0[a=x3,b=8]x^{3}-8=0\left[a=x^{3}, b=8\right] বা, x3−23=0x^{3}-2^{3}=0 বা, (x−2)(x2+2x+4)=0(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=0 হয়, x−2=0x-2=0 বা, x=2x =2 অথবা, x2+2x+4=0\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+4=0 বা, x=−2±4−4⋅1⋅42⋅1x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} == −2±−122\frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} == −2±2−32\frac{-2 \pm 2 \sqrt{-3}}{2} =−1±−3=−1±i3=-1 \pm \sqrt{-3}=-1 \pm i \sqrt{3} জটিল মূলদ্বয় −1+i3-1+i \sqrt{3} এবং −1−i3-1-i \sqrt{3} ∴z1=−1+i3\therefore z_{1}=-1+i \sqrt{3} এবং z2=−1−i3z_{2}=-1-i \sqrt{3} এখন, z1⋅z2=(−1+i3)(−1−i3)z_{1} \cdot z_{2}=(-1+i \sqrt{3})(-1-i \sqrt{3}) =(−1)2−(i3)2=(-1)^{2}-(i \sqrt{3})^{2} =1+3=4=4+0i=1+3=4=4+0 i বামপক্ষ =Arg⁡(z1⋅z2)=\operatorname{Arg}\left(\mathrm{z}_{1} \cdot \mathrm{z}_{2}\right) =tan⁡−104=tan⁡−10=0=\tan^{-1} \frac{0}{4}=\tan^{-1} 0=0 ডানপক্ষ =Arg⁡(z1)+Arg⁡(z2)=\operatorname{Arg}\left(\mathrm{z}_{1}\right)+\operatorname{Arg}\left(\mathrm{z}_{2}\right) =tan⁡−1(3−1)+tan⁡−1(−3−1)=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) =(π−π3)−(π−π3)=0=\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=0 ∴arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\therefore \arg \left(\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}\right)=\arg \left(\mathrm{z}_{1}\right)+\arg \left(\mathrm{z}_{2}\right) ( (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন