Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] মডুলাস [গণিত] সংখ্যাটি আর্গুমেন্ট [গণিত] [ [গণিত] বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] [গণিত] নির্ণেয় মডুলাস 2 এবং আর্গুমেন্ট [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

এর মডুলাস ও আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : এককের কাক্পনিক ঘনমূল ω\omega এবং P(x)=a+bx+cx2\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{bx}+\mathrm{cx}^2. দৃশ্যকল্প-২ : z1=1−ix,z2=1+ix\mathrm{z}_1=1-\mathrm{ix}, \mathrm{z}_2=1+i \mathrm{x}.

ঢাকা কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, z=−1−3iz=-1-\sqrt{3} i মডুলাস ∣z∣=(−1)2+(−3)2|z|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2} =1+3=4=2=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 সংখ্যাটি আর্গুমেন্ট =−π+tan⁡−1=-\pi+\tan^{-1} ∣yx∣\left|\frac{y}{x}\right| [ ∵\because বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=−π+tan⁡−13=−π+tan⁡−1tan⁡π3=−π+π3=−3π+π3=−2π3\begin{aligned} & =-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right|=-\pi+\tan^{-1} \sqrt{3}=-\pi+\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{3} \\ & =-\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{-3 \pi+\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3}\end{aligned} নির্ণেয় মডুলাস 2 এবং আর্গুমেন্ট −2π3-\frac{2 \pi}{3}

উত্তর

দেওয়া আছে , p(x)=a+bx+cx2p(x)=a+b x+c x^2 ∴p(ω)=a+bω+cω2=u\therefore \quad \mathrm{p}(\omega)=\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega+\mathrm{c} \omega^2=\mathrm{u} (ধরি ) এবং p(1ω)=a+b(1ω)+c(1ω)2=a+bω+cω2=vp\left(\frac{1}{\omega}\right)=a+b\left(\frac{1}{\omega}\right)+c\left(\frac{1}{\omega}\right)^2=a+\frac{b}{\omega}+\frac{c}{\omega^2}=v ( ধরি) এখন, {p(ω)}3+{p(1ω)}3=0\{p(\omega)\}^3+\left\{p\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0 বা, u3+v3=0u^3+v^3=0 বा, (u+v)(u2−uv+v2)=0(u+v)\left(u^2-u v+v^2\right)=0 বা, (u+v){u2+(ω+ω2)uv+v2⋅ω3}=0(u+v)\left\{u^2+\left(\omega+\omega^2\right) u v+v^2 \cdot \omega^3\right\}=0 [∵1+ω+ω2=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right. এবং ω3=1]\left.\omega^3=1\right] বা, (u+v)(u2+uvω+uvω2+v2⋅ω3)=0(u+v)\left(u^2+u v \omega+u v \omega^2+v^2 \cdot \omega^3\right)=0 বা, (u+v){u(u+vω)+vω2(u+vω)}=0(u+v)\left\{u(u+v \omega)+v \omega^2(u+v \omega)\right\}=0 বা, (u+v)(u+vω)(u+vω2)=0(u+v)(u+v \omega)\left(u+v \omega^2\right)=0 হয়, u+v=0u+v=0 বা, a+bω+cω2+a+bω+cω2=0a+b \omega+c \omega^2+a+\frac{b}{\omega}+\frac{c}{\omega^2}=0 বা, aω2+bω3+cω4+aω2+bω+c=0a \omega^2+b \omega^3+c \omega^4+a \omega^2+b \omega+c=0 বা, aω2+b+cω+aω2+bω+c=0[∵ω3=1]a \omega^2+b+c \omega+a \omega^2+b \omega+c=0\left[\because \omega^3=1\right] বা, 2aω2+b(1+ω)+c(1+ω)=02 a \omega^2+b(1+\omega)+c(1+\omega)=0 বা, 2aω2−bω2−cω2=0[∵1+ω+ω2=0]2 a \omega^2-b \omega^2-c \omega^2=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, ω2(2a−b−c)=0\omega^2(2 a-b-c)=0 বা, 2a−b−c=0[∵ω2≠0]2 a-b-c=0\left[\because \omega^2 \neq 0\right] বা, 2a=b+c2 a=b+c ∴a=12(b+c)\therefore \quad a=\frac{1}{2}(b+c) অথবা, u+vω=0u+v \omega=0 বা, a+bω+cω2+(a+bω+cω2)ω=0a+b \omega+c \omega^2+\left(a+\frac{b}{\omega}+\frac{c}{\omega^2}\right) \omega=0 বা, a+bω+cω2+aω+b+cω=0a+b \omega+c \omega^2+a \omega+b+\frac{c}{\omega}=0 বা, aω+bω2+cω3+aω2+bω+c=0a \omega+b \omega^2+c \omega^3+a \omega^2+b \omega+c=0. বা, a(ω+ω2)+2c+b(ω+ω2)=0[∵ω3=1]a\left(\omega+\omega^2\right)+2 c+b\left(\omega+\omega^2\right)=0 \quad\left[\because \omega^3=1\right] বা, −a+2c−b=0[∵1+ω+ω2=0]-a+2 c-b=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 2c=a+b2 c=a+b ∴c=12(a+b)\therefore \quad c=\frac{1}{2}(a+b) অতএব, a=12( b+c)\mathrm{a}=\frac{1}{2}(\mathrm{~b}+\mathrm{c}) অথবা c=12(a+b)c=\frac{1}{2}(a+b) দেখানো হলো

উত্তর

দেওয়া আছে, m2+n2=1\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2=1, যেখানে m,n∈R\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathbb{R} এবং z1=1−ixz_1=1-i x ও z2=1+ixz_2=1+ix বা, 1−ix1+ix=m−in\frac{1-i x}{1+i x}=m-i n বা, 1−ix−1−ix1−ix+1+ix=m−in−1m−in+1\frac{1-i x-1-i x}{1-i x+1+i x}=\frac{m-i n-1}{m-i n+1} [বিয়োজন করো ] বা, \frac{-2 i x}{2}=\frac{(m-1)-i n}{(m+1}-i n} বা, -i x=\frac{\{(m-1)-i n\}(m+1+i m)}{\{(m+1)+n\}\{(m+1)-i n\}}=\frac{(m-1-i n)(m+1+i n)}{(m+1}^2+n^2} =m2+m+imn−m−1−in−imn−in−i2n2m2+2m+1+n2=\frac{m^2+m+i m n-m-1-i n-i m n-i n-i^2 n^2}{m^2+2 m+1+n^2} =m2−1−2in+n2m2+n2+2m+1=m2+n2−2in−11+2m+1=1−2in−12+2m=−2in2(1+m)=\frac{m^2-1-2 i n+n^2}{m^2+n^2+2 m+1}=\frac{m^2+n^2-2 i n-1}{1+2 m+1}=\frac{1-2 i n-1}{2+2 m}=\frac{-2 i n}{2(1+m)} বা, −ix=−in1+m-i x=\frac{-i n}{1+m} ∴x=n1+m\therefore \quad x=\frac{n}{1+m} যা বাস্তব। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন