Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে. [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=a+bx+cx2;z=r(cos⁡θ+isin⁡θ).f(x)=a+b x+\mathrm{cx}^2 ; z=\mathrm{r}(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) .

কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ · 2025

উত্তর

−7+24i=−16+24i+9=9+24i+16i2[∵i2=−1]=32+2⋅3⋅4i+(4i)2=(3+4i)2\begin{aligned}-7+24 \mathrm{i} & =-16+24 \mathrm{i}+9 \\ & =9+24 \mathrm{i}+16 \mathrm{i}^2\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] \\ & =3^2+2 \cdot 3 \cdot 4 \mathrm{i}+(4 \mathrm{i})^2=(3+4 i)^2\end{aligned} ∴−7+24i\therefore \quad-7+24 \mathrm{i} এর বর্গমূল =−7+24i=\sqrt{-7+24i} = =(3+4i)2=±(3+4i)= \sqrt{(3+4 i)^2}= \pm(3+4 i) নির্ণেয় বর্গমূল : ±(3+4i)\pm(3+4 \mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r \cos \theta+i r \sin \theta ∴∣z∣=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=r2×1=r\therefore \quad|z|=\sqrt{r^2 \cos^2 \theta+r^2 \sin^2 \theta}=\sqrt{r^2\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)}=\sqrt{r^2 \times 1}=r এখানে, ∣z∣=1∴r=1|z|=1 \therefore r=1 r=1,θ=2π3r=1, \theta=\frac{2 \pi}{3} হলে. z=1(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=−12+i×32z=1\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i \times \frac{\sqrt{3}}{2} z2=(−12+i32)2=(−12)2+2(−12)i32+(i32)2=14−i32+i234=14−i32−34[∵i2=−1]=−12−32i\begin{aligned} z^2 & =\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(-\frac{1}{2}\right) i \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ & =\frac{1}{4}-i \frac{\sqrt{3}}{2}+i^2 \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-i \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\end{aligned} z3=z2⋅z=(−12−32i)(−12+32i)=(−12)2−(32i)2=14−34i2=14+34[∵i2=−1]=1+34=44=1\z4=z3⋅z=1(−12+32i)=−12+32i∴1+z2+z4=1+(−12−32i)+(−12+32i)=1−12−12=1−2×12=1−1=0\begin{aligned} z^3=z^2 \cdot z & =\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \\ & =\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4} i^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1 \z^4=z^3 \cdot z & =1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \\ \therefore 1+z^2+z^4 & =1+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \\ & =1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-2 \times \frac{1}{2}=1-1=0\end{aligned} বামপক্ষ =(a+b)2+(az+bz2)2+(az2+bz)2=(a+b)^2+\left(a z+b z^2\right)^2+\left(a z^2+b z\right)^2 =a2+2ab+b2+a2z2+2abz3+b2z4+a2z4+2abz3+b2z2=a2(1+z2+z4)+b2(1+z2+z4)+2ab+4abz3.=a2×0+b2×0+2ab+4ab×1\begin{aligned} & =a^2+2 a b+b^2+a^2 z^2+2 a b z^3+b^2 z^4+a^2 z^4+2 a b z^3+b^2 z^2 \\ & =a^2\left(1+z^2+z^4\right)+b^2\left(1+z^2+z^4\right)+2 a b+4 a b z^3 . \\ & =a^2 \times 0+b^2 \times 0+2 a b+4 a b \times 1\end{aligned} =0+0+2ab+4ab=6ab==0+0+2 \mathrm{ab}+4 \mathrm{ab}=6 \mathrm{ab}= ডানপক্ষ ∴(a+b)2+(az+bz2)2+(az2+bz)2=6ab\therefore \quad(a+b)^2+\left(a z+b z^2\right)^2+\left(a z^2+b z\right)^2=6 a b. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=a+bx+cx2f(x)=a+b x+c x^2 f(ω)=a+bω+cω2\f(1ω)=f(ω2ω3)=f(ω21)[∵ω3=1]=f(ω2)=a+bω2+c(ω2)2=a+bω2+cω3⋅ω=a+bω2+cω[∵ω3=1]\begin{aligned} f(\omega) & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega+\mathrm{c} \omega^2 \f\left(\frac{1}{\omega}\right) & =f\left(\frac{\omega^2}{\omega^3}\right)=f\left(\frac{\omega^2}{1}\right)\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =f\left(\omega^2\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c}\left(\omega^2\right)^2 \\ & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c} \omega^3 \cdot \omega \\ & =\mathrm{a}+\mathrm{b} \omega^2+\mathrm{c} \omega \quad\left[\because \omega^3=1\right]\end{aligned} এখন, {f(ω)}3+{f(1ω)}3=0\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^3=0 হলে , (a+bω+cω2)3+(a+bω2+cω)3=0\left(a+b \omega+c \omega^2\right)^3+\left(a+b \omega^2+ c \omega\right)^3=0 বা, (a+bω+cω2)3=−(a+bω2+cω)3\left(a+b \omega+c \omega^2\right)^3=-\left(a+b \omega^2+c \omega\right)^3 বा, (a+bω+cω2a+bω2+cω)3=−1\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}\right)^3=-1 বा, a+bω+cω2a+bω2+cω=−13\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=\sqrt[3]{-1} বा, a+bω+cω2a+bω2+cω=−1,−ω\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-1,-\omega, ω2\omega^2 অর্থাৎ, a+bω+cω2a+bω2+cω=−1\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-1 বা, a+bω+cω2=−a−bω2−cω\quad a+b \omega+c \omega^2=-a-b \omega^2-c \omega বা, 2a+b(ω+ω2)+c(ω2+ω)=02 a+b\left(\omega+\omega^2\right)+c\left(\omega^2+\omega\right)=0 বा, 2a−b−c=0[∵1+ω+ω2=0]2 a-b-c=0 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 2a=b+c2 a=b+c ∴a=12(b+c)\therefore \quad a=\frac{1}{2}(b+c) আবার, a+bω+cω2a+bω2+cω=−ω\frac{a+b \omega+c \omega^2}{a+b \omega^2+c \omega}=-\omega বা, a+bω+cω2=−aω−bω3−cω2a+b \omega+c \omega^2=-a \omega-b \omega^3-c \omega^2 বা, a(1+ω)+b(ω+ω3)+c(ω2+ω2)=0a(1+\omega)+b\left(\omega+\omega^3\right)+c\left(\omega^2+\omega^2\right)=0 বা, −ω2a+b(ω+1)+2cω2=0[1+ω+ω2=0-\omega^2 a+b(\omega+1)+2 c \omega^2=0\left[1+\omega+\omega^2=0\right. এবং ω3=1]\left.\omega^3=1\right] বা, −ω2a−bω2+2cω2=0-\omega^2 a-b \omega^2+2 c \omega^2=0 বা, −a−b+2c=0[ω2-a-b+2 c=0\left[\omega^2\right. দ্বারা ভাগ করে। ] বা, 2c=a+b2 c=a+b ∴c=12(a+b)\therefore \quad c=\frac{1}{2}(a+b) আবার, a+b(ω+cω2a+bω2+cω=−ω2\frac{a+b\left(\omega+c \omega^2\right.}{a+b \omega^2+c \omega}=-\omega^2 বা, a+bω+cω2=−aω2−bω4−cω3a+b \omega+c \omega^2=-a \omega^2-b \omega^4-c \omega^3 বা, a(1+ω2)+b(ω+ω4)+c(ω2+ω3)=0a\left(1+\omega^2\right)+b\left(\omega+\omega^4\right)+c\left(\omega^2+\omega^3\right)=0 বা, a(1+ω2)+b(ω+ω)+c(ω2+1)=0[∵ω3=1]\mathrm{a}\left(1+\omega^2\right)+\mathrm{b}(\omega+\omega)+\mathrm{c}\left(\omega^2+1\right)=0\left[\because \omega^3=1\right] বা, −aω+2bω−cω=0[∵1+ω+ω2=0]-a \omega+2 b \omega-c \omega=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, −a+2b−c=0-a+2 b-c=0 [ ω\omega দ্বারা ভাগ করে] বা, ab=c+a∴b=12(c+a)\mathrm{ab}=\mathrm{c}+\mathrm{a} \therefore \mathrm{b}=\frac{1}{2}(\mathrm{c}+\mathrm{a}) বা, 2 b=c+a∴b=12(c+a)2 \mathrm{~b}=\mathrm{c}+\mathrm{a} \therefore \mathrm{b}=\frac{1}{2}(\mathrm{c}+\mathrm{a}) ∴a=12(b+c)\therefore \quad a=\frac{1}{2}(b+c) অথবা, b=12(c+a)b=\frac{1}{2}(c+a) অথবা, c=12(a+b)c=\frac{1}{2}(a+b). (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাকুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন