Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] জটিল সংখ্যাটিকে পোলার আকৃতিতে প্রকাশ কর।

উত্তর: প্রদত্ত জটিল সংখ্যা [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্পিত। [গণিত] জটিল সংখ্যাটির পোলার আকৃতি [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

জটিল সংখ্যাটিকে পোলার আকৃতিতে প্রকাশ কর।

উদ্দীপক

z=x+iyz=x+i y এবং (1−z1)2+(x2−1)=0.\left(1-z_1\right)^2+\left(x^2-1\right)=0 .

রাজশাহী কলেজ · 2025

উত্তর

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা =2−2i=2-2 i ধরি, x+iy=2−2ix+i y=2-2 i ∴x=2\therefore \mathrm{x}=2 এবং y=−2\mathrm{y}=-2 আমরা জানি, r2=x2+y2\mathrm{r}^2=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2 বা, r2=(2)2+(−2)2=4+4=8r^2=(2)^2+(-2)^2=4+4=8 ∴r=22\therefore r=2 \sqrt{2} আবার, (2,−2)(2,-2) বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্পিত। ∴θ=−tan⁡−1∣yx∣=−tan⁡−1∣−22∣=−tan⁡−1∣−1∣=−tan⁡−1(1)=tan⁡−1(tan⁡π4)=−π4\begin{aligned}\therefore \theta & =-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|=-\tan^{-1}\left|\frac{-2}{2}\right|= \\& -\tan^{-1}|-1|=-\tan^{-1}(1)=\tan^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}\end{aligned} ∴2−2i\therefore 2-2 i জটিল সংখ্যাটির পোলার আকৃতি =r(cos⁡θ+isin⁡θ)=22{cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)}=r(\cos \theta+i \sin \theta)=2 \sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখন, ∣z+2i∣>3|z+2 i|>3 বা, ∣x+iy+2i∣>3|x+i y+2 i|>3 বা, ∣x+i(y+2)∣>3|x+i(y+2)|>3 বা, x2+(y+2)2>3\sqrt{x^2+(y+2)^2}>3 বা, x2+(y+2)2>9x^2+(y+2)^2>9 [বর্গ করে] ∴(x−0)2+{y−(−2)}2>32\therefore \quad(\mathrm{x}-0)^2+\{\mathrm{y}-(-2)\}^2>3^2 (0,−2)(0, - 2) কেন্দ্র এবং ও একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের বাইরের সকল বিন্দুকে নির্দেশ করে।

উত্তর

দেওয়া আছে , (1−z1)2+(x2−1)=0\left(1-z_1\right)^2+\left(x^2-1\right)=0 বা, (1−z1)2=−(x2−1)\left(1-z_1\right)^2=-\left(x^2-1\right) বা, (1−z1)2=i2(x2−1)[∵i2=−1]\left(1-z_1\right)^2=i^2\left(x^2-1\right)\left[\because i^2=-1\right] বা, 1−z1=ix2−11-z_1=i \sqrt{x^2-1} ∴z1=1−ix2−12=12{2−2i(x+1)(x−1)}\therefore z_1=1-i \sqrt{x^2-1^2}=\frac{1}{2}\{2-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\} =12{(x+1)−(x−1)−2i(x+1)(x−1)}=12{(x+1)+i2(x−1)−2i(x+1)(x−1)}[∵i2=−1]=12{(x+1)2−2⋅x+1⋅ix−1+(ix−1)2}=12(x+1−ix−1)2∴z1=12(x+1−ix−1)2=±12(x+1−ix−1)\begin{aligned} & =\frac{1}{2}\{(x+1)-(x-1)-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{(x+1)+i^2(x-1)-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\right\}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1}{2}\left\{(\sqrt{x+1})^2-2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot i \sqrt{x-1}+(i \sqrt{x-1})^2\right\} \\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})^2 \\ \therefore \sqrt{z_1} & =\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})^2}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})\end{aligned} z1=P−iQ\sqrt{z_1}=P-i Q হলে , P−iQ=±12(x+1−ix−1)P-i Q= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1}) ∴P+iQ=±12(x+1+ix−1)∴∣P+iQ∣={12(x+1)}2+{±12(x−1)}2=12(x+1)+12(x−1)=12x+12+12x−12=12x+12x=x\begin{aligned} & \therefore P+i Q= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}+i \sqrt{x-1}) \\ & \therefore|P+i Q|=\sqrt{\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1})\right\}^2+\left\{ \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x-1})\right\}^2} \\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(x+1)+\frac{1}{2}(x-1)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x}=\sqrt{x}\end{aligned} নির্ণেয় ∣P+iQ∣=x|\mathrm{P}+\mathrm{iQ}|=\sqrt{\mathrm{x}}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যারাজশাহী কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti