Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta)

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =(1−ω+ω2)2+(1+ω−ω2)2=\left(1-\omega+\omega^2\right)^2+\left(1+\omega-\omega^2\right)^2 =(−ω−ω)2+(−ω2−ω2)[∵1+ω+ω2=0]=(−2ω)2+(−2ω2)2+4ω2+4ω4=4ω2+4ω3⋅ω=4ω2+4ω[∵ω3=1]\begin{aligned} & =(-\omega-\omega)^2+\left(-\omega^2-\omega^2\right)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =(-2 \omega)^2+\left(-2 \omega^2\right)^2+4 \omega^2+4 \omega^4=4 \omega^2+4 \omega^3 \cdot \omega \\ & =4 \omega^2+4 \omega\left[\because \omega^3=1\right]\end{aligned} =4(ω2+ω)=4(−1)=−4==4\left(\omega^2+\omega\right)=4(-1)=-4= ডানপক্ষ ∴(1−ω+ω2)2+(1+ω−ω2)2=−4\therefore \quad\left(1-\omega+\omega^2\right)^2+\left(1+\omega-\omega^2\right)^2=-4. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta)……(i)\ldots\ldots(i) ধরি, x=rcos⁡θx=r \cos \theta এবং y=rsin⁡θy=r \sin \theta তাহলে, x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θx^2+y^2=r^2 \cos^2 \theta+r^2 \sin^2 \theta =r2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=r2⋅1=r2=r^2\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)=r^2 \cdot 1=r^2 (i)(i) নং হতে পাই, z=rcos⁡θ+irsin⁡;θz=r \cos \theta+i r \sin ; \theta বा, z=x+iyz=x+i y ∴∣z∣=x2+y2=r2=r\therefore \quad|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=r এখন, ∣z∣=r=1|z|=r=1 এবং θ=−π4\theta=-\frac{\pi}{4} হলে, (i)(i) নং হতে পাই, z=1×cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)=cos⁡π4−isin⁡π4[∵cos⁡(−θ)=cos⁡θ]=12−i12=12(1−i)\begin{aligned} z & =1 \times \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}[\because \cos (-\theta)=\cos \theta] \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\end{aligned} বা, 2.z=1−i\sqrt{2} . z=1-i বা, (2.z)2=(1−i)2(\sqrt{2 . z})^2=(1-i)^2 [বর্গ করে] বা, 2z2=1−2i+i22 z^2=1-2 i+i^2 বা, 2z2=1−2i−1[∵i2=−1]2 z^2=1-2 i-1 \quad\left[\because i^2=-1\right] বা, 2z2=−2i2 z^2=-2 i বা, z2=−iz^2=-i বা, z4=i2z^4=i^2 ∴z4=−1\therefore \quad z^4=-1 প্রদত্ত রাশি, $
=z6+z4+z2+1=(z2)3+(−1)+(−i)+1=(−i)3−1−i+1=−i3−i=−i2⋅\begin{aligned} & =z^6+z^4+z^2+1 \\& =\left(z^2\right)^3+(-1)+(-i)+1=(-i)^3-1-i+1 \\& =-i^3-i=-i^2 \cdot \end{aligned}
i-i=-(-1) ⋅i−i=i−i=0\cdot i-i=i-i=0$ নির্ণেয় মান : 00.

উত্তর

ধরি, x=rcos⁡θx=r \cos \theta এবং, y=rsin⁡θy=r \sin \theta দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta) বা, z=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r \cos \theta+i r \sin \theta বা, z=x+iyz=x+i y বা, ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2} বা, 2=x2+y2[∵∣z∣=2]2=\sqrt{x^2+y^2} \quad[\because|z|=2] ∴x2+y2=4\therefore \quad x^2+y^2=4…...(i)\ldots...(i) এবং θ=2π3=tan⁡−1(yx)\theta=\frac{2 \pi}{3}=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) বা, yx=tan⁡(2π3)=−3\frac{y}{x}=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3} ∴y=−3x\therefore \quad y=-\sqrt{3} x …...(ii)\ldots...(ii) yy এর মান (i)(i) নং এ বসিয়ে পাই, x2+(−3x)2=4x^2+(-\sqrt{3} x)^2=4 বা, x2+3x2=4x^2+3 x^2=4 বা, 4x2=44 x^2=4 বা, x2=1x^2=1 ∴x=±1\therefore \quad \mathrm{x}= \pm 1 xx এর মান (ii)(ii)নং এ বসিয়ে পাই, y=−3(±1)=±3y=-\sqrt{3}( \pm 1)= \pm \sqrt{3} ∴(1,3)\therefore \quad(1, \sqrt{3}) এর জন্য, z=1+i3z=1+i \sqrt{3} ∴zˉ=1−i3\therefore \quad \bar{z}=1-\mathrm{i} \sqrt{3} এবং (−1,−3)(-1,-\sqrt{3}) এর জন্য, z=−1−i3\mathrm{z}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} ∴zˉ=−1+i3\therefore \quad \bar{z}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3} z এর জন্য ঢাল, m1=3+31+1=232=3\mathrm{m}_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1+1}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} আবার, zˉ\bar{z} এর জন্য ঢাল; m2=−3−31+1=−232=−3\mathrm{m}_2=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{1+1}=\frac{-2 \sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3} ∴z\therefore \quad \mathrm{z} এবং z‾\overline{\mathrm{z}} এর মধ্যবর্তী কোণ =tan⁡−1 m1−m21+m1 m2=\tan^{-1} \frac{\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2}{1+\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2} =tan⁡−13+31−3⋅3=tan⁡−1(23−2)=\tan^{-1} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) =π−tan⁡−13⋅[=\pi-\tan^{-1} \sqrt{3} \cdot[ যেহেতু বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] =π−π3=2π3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় কোণ 2π3\frac{2 \pi}{3}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাকুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন