Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে , প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] বा, [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] মূলদ্বয়ের যোগফল, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] মূলদ্বয়ের গুণফল, [গণিত] , বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

সমীকরণের মূলদ্বয় ও হলে , প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

P(x)=ax2+bx+c(a±0)P(x)=a x^2+b x+c(a \pm 0) এবং Q(x)=mx2+nx+n(m±0)Q(x)=m x^2+n x+n(m \pm 0)

ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

সমীকরণটির একটি মূল 12+3i\frac{1}{2+3 \mathrm{i}}; যা জটিল মূল । এখন, 12+3i=2−3i(2+3i)(2−3i)=2−3i4+9=2−3i13\frac{1}{2+3 \mathrm{i}}=\frac{2-3 \mathrm{i}}{(2+3 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})}=\frac{2-3 \mathrm{i}}{4+9}=\frac{2-3 \mathrm{i}}{13} আমরা জানি, জটিল মূল জোড়ায় জোড়ায় থাকে। সুতরাং, সমীকরণের অপর মূল 2+3i13\frac{2+3 i}{13} ∴\therefore সমীকরণটি, x2−(2−3i13+2+3i13)x+2−3i13⋅2+3i13=0x^2-\left(\frac{2-3 i}{13}+\frac{2+3 i}{13}\right) x+\frac{2-3 i}{13} \cdot \frac{2+3 i}{13}=0 বা, x2−4x13+4+9169=0x^2-\frac{4 x}{13}+\frac{4+9}{169}=0 বা, x2−4x13+13169=0x^2-\frac{4 x}{13}+\frac{13}{169}=0 বা, x2−4x13+113=0x^2-\frac{4 x}{13}+\frac{1}{13}=0 ∴13x2−4x+1=0\therefore \quad 13 x^2-4 x+1=0 নির্ণেয় সমীকরণ, 13x2−4x+1=013 x^2-4 x+1=0

উত্তর

দেওয়া আছে, p(x)=ax2+bx+cp(x)=a x^2+b x+c এখানে, p(x)=0\mathrm{p}(\mathrm{x})=0 বा, ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় γ,δ\gamma, \delta ∴\therefore মূলদ্বয়ের যোগফল, γ+δ=−ba\gamma+\delta=-\frac{b}{a} বা, aγ+b=−aδa \gamma+b=-a \delta এবং aδ+b=−aya \delta+b=-a y মূলদ্বয়ের গুণফল, γβ=ca\gamma \beta=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}, বামপক্ষ =(aγ+b)−2+(aδ+b)−2=(a \gamma+b)^{-2}+(a \delta+b)^{-2} \begin{aligned} & =\frac{1}{(a \gamma+b}^2}+\frac{1}{(a \delta+b}^2} \\ & =\frac{1}{(-a \delta}^2}+\frac{1}{(-a \gamma}^2}=\frac{1}{a^2 \delta^2}+\frac{1}{a^2 \gamma^2}=\frac{\gamma^2+\delta^2}{a^2 \gamma^2 \delta^2} \\ & =\frac{(\gamma+\delta)^2-2 \gamma \delta}{a^2(\gamma \delta}^2}=\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2 \frac{c}{a}}{a^2\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\frac{\frac{b^2}{a^2}-2 \frac{c}{a}}{c^2}\end{aligned} =b2−2aca2c2==\frac{\mathrm{b}^2-2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^2 \mathrm{c}^2}= ডানপক্ষ ∴(aγ+b)−2+(aδ+b)−2=b2−2aca2c2\therefore \quad(a \gamma+b)^{-2}+(a \delta+b)^{-2}=\frac{b^2-2 a c}{a^2 c^2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(x)=mx2+nx+n\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{mx}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{n} Q(x)=0Q(x)=0 হলে, mx2+nx+n=0m x^2+n x+n=0 সমীকরণটির মূলদ্বয়ের অনুপাত p:2q মনে করি, মূলদ্বয় pαp \alpha ও 2qα2 q \alpha ∴pα+2qα=−nm\therefore p \alpha+2 q \alpha=-\frac{n}{m} বा, α(p+2q)=−nm\alpha(p+2 q)=\frac{-n}{m} ∴p+2q=−nmα\therefore \quad p+2 q=\frac{-n}{m \alpha} এবং pα×2qα=nm\mathrm{p} \alpha \times 2 \mathrm{q} \alpha=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}} বा, 2pqα2=nm2 p q \alpha^2=\frac{n}{m} ∴pq=n2 mα2\therefore \quad \mathrm{pq}=\frac{\mathrm{n}}{2 \mathrm{~m} \alpha^2} বামপক্ষ =pq+2qp+2nm=\sqrt{\frac{p}{q}}+2 \sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}} =pq+2qp+2nm=(p)2+2(q)2pq+2nm=p+2qpq+2nm=−nmαn2mα2+2nm=−nmα×2mαn+2nm=−n⋅nmm⋅α×2mn+2nm=−2×nm+2nm=−2nm+2nm\begin{aligned} & =\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}+\frac{2 \sqrt{q}}{\sqrt{p}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}}=\frac{(\sqrt{p})^2+2(\sqrt{q})^2}{\sqrt{p q}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}} \\ & =\frac{p+2 q}{\sqrt{p q}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}}=\frac{\frac{-n}{m \alpha}}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2 m \alpha^2}}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}} \\ & =\frac{-n}{m \alpha} \times \frac{\sqrt{2 m} \alpha}{\sqrt{n}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}} \\ & =\frac{-\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{m} \sqrt{m} \cdot \alpha} \times \frac{\sqrt{2} \sqrt{m}}{\sqrt{n}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}} \\ & =\frac{-\sqrt{2} \times \sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}}=-\sqrt{\frac{2 n}{m}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}}\end{aligned} =0==0= ডানপক্ষ ∴pq+2qp+2nm=0\therefore \sqrt{\frac{p}{q}}+2 \sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{2 n}{m}}=0. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন