Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয় তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] হলে. [গণিত] বা, [গণিত] [উভয় পক্ষকে ঘন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণ [গণিত] হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] এবং [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

যদি হয় তবে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

g(x)=p+qx+rx2, h(a, b)=a+ib.\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2, \mathrm{~h}(\mathrm{a},\mathrm{~b})=\mathrm{a}+\mathrm{ib}.

শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ · 2025

উত্তর

i+3=2i×i2(i+3)=2i×12(i2+3i)=2i×12(−1+3i)[∵i2=−1]=2ωi[∵ω=12(−1+3i)]\begin{aligned} i+\sqrt{3} & =\frac{2}{i} \times \frac{i}{2}(i+\sqrt{3})=\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}\left(i^2+\sqrt{3} i\right) \\ & =\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{2 \omega}{i}\left[\because \omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\right]\end{aligned} এবং i−3=2i×i2(i−3)=2i×12(i2−3i)\mathrm{i}-\sqrt{3}=\frac{2}{\mathrm{i}} \times \frac{\mathrm{i}}{2}(\mathrm{i}-\sqrt{3})=\frac{2}{\mathrm{i}} \times \frac{1}{2}\left(\mathrm{i}^2-\sqrt{3} \mathrm{i}\right) =2i×12(−1−3i)[∵i2=−1]=2ω2i[∵ω2=12(−1−3i)]\begin{aligned} & =\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i) \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{2 \omega^2}{i} \quad\left[\because \omega^2=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i)\right]\end{aligned} প্রদত্ত রাশি =(i+3)100+(i−3)100=(i+\sqrt{3})^{100}+(i-\sqrt{3})^{100} =(2ωi)100+(2ω2i)100=2100⋅ω100i100+2100⋅ω200i100=\left(\frac{2 \omega}{i}\right)^{100}+\left(\frac{2 \omega^2}{i}\right)^{100}=\frac{2^{100} \cdot \omega^{100}}{i^{100}}+\frac{2^{100} \cdot \omega^{200}}{i^{100}} =2100⋅(ω3)33⋅ω(i2)50+2100⋅(ω3)66⋅ω2(i2)50=\frac{2^{100} \cdot\left(\omega^3\right)^{33} \cdot \omega}{\left(i^2\right)^{50}}+\frac{2^{100} \cdot\left(\omega^3\right)^{66} \cdot \omega^2}{\left(\mathbf{i}^2\right)^{50}} =2100⋅ω1+2100⋅ω21[∵ω3=1=\frac{2^{100} \cdot \omega}{1}+\frac{2^{100} \cdot \omega^2}{1}\left[\because \omega^3=1\right. এবং i2=−1]\left.i^2=-1\right] =2100(ω+ω2)=2^{100}\left(\omega+\omega^2\right) =2100×(−1)[∵1+ω+ω2=0]=2^{100} \times(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] =−2100=-2^{100} নির্ণেয় মান : - 21002^{100}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(a,b)=a+ib\mathrm{h}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=\mathrm{a}+\mathrm{ib} ∴h(a,−b)=a−ib\therefore \mathrm{h}(\mathrm{a},-\mathrm{b})=\mathrm{a}-\mathrm{ib} h(x,y)=x+iyh(x, y)=x+i y এবং h(x,−y)=x−iyh(x,-y)=x-i y এখন, h(a,b)3=h(x,y)\sqrt[3]{h(a, b)}=h(x, y) হলে. a+ib3=x+iy\sqrt[3]{a+i b}=x+i y বা, a+ib=(x+iy)3a+i b=(x+i y)^3 [উভয় পক্ষকে ঘন করে] বা, a+ib=x3+3x2iy+3x(iy)2+(iy)3a+i b=x^3+3 x^2 i y+3 x(i y)^2+(i y)^3 [∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3]\left[\because(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right] বা, a+ib=x3+3x2yi−3xy2−y3i[∵i2=−1a+i b=x^3+3 x^2 y i-3 x y^2-y^3 i\left[\because i^2=-1\right. এবং i3=−i]\left.i^3=-i\right] ∴a+ib=(x3−3xy2)+(3x2y−y3)i\therefore \quad a+i b=\left(x^3-3 x y^2\right)+\left(3 x^2 y-y^3\right) i ……..(1)\ldots\ldots..(1) সমীকরণ (1)(1) হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই, a=x3−3xy2a=x^3-3 x y^2 এবং b=3x2y−y3b=3 x^2 y-y^3 বামপক্ষ =a−ib3=x3−3xy2−i(3x2y−y3)3=\sqrt[3]{a-i b}=\sqrt[3]{x^3-3 x y^2-i\left(3 x^2 y-y^3\right)} =x3−3xy2−i3x2y+iy33=\sqrt[3]{x^3-3 x y^2-i 3 x^2 y+i y^3} =x3−3x2(iy)+3x(iy)2−(iy)33[∵i2=−1=\sqrt[3]{x^3-3 x^2(i y)+3 x(i y)^2-(i y)^3}\left[\because i^2=-1\right. এবং i3=−i]\left.i^3=-i\right] =(x−iy)33=x−iy=h(x,−y)==\sqrt[3]{(x-i y)^3}=x-i y=h(x,-y)= ডানপক্ষ ∴h(a,−b)3=h(x,−y):\therefore \quad \sqrt[3]{h(a,-b)}=h(x,-y): (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=l+mx+nx2\mathrm{g}(\mathrm{x})=l+\mathrm{mx}+\mathrm{nx}^2 ∴g(ω)=l+mω+nω2∴ g(ω2)=l+mω2+nω4=l+mω2+nω\begin{aligned} & \therefore \quad \mathrm{g}(\omega)=l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2 \\ & \therefore \quad \mathrm{~g}\left(\omega^2\right)=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega^4=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\end{aligned} বামপক্ষ ={g(ω)}3+{g(ω2)}3=\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3 =(l+mω+nω2)3+(l+mω2+nω)3=\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2\right)^3+\left(l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right)^3 =x3+y3=\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3 [ধরি, x=l+mω+nω2,y=l+mω2+nω]\left.\mathrm{x}=l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2, \mathrm{y}=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right] =(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){x2+(−1)xy+12y2}=(x+y){x2+(ω+ω2)xy+ω3y2}=(x+y)(x2+xyω+xyω2+y2ω3)=(x+y){x(x+yω)+yω2)(x+yω)}=(x+y)(x+yω)(x+yω2)=(l+mω+nω2+l+mω2+nω)(l+mω+nω2+lω+mω3+nω)(l+mω+nω2+lω2+mω4+nω3)={2l+m(ω+ω2)+n(ω+ω2)}{l(1+ω)+m(1+ω)+2nω2}{l(1+ω2)+2 mω+n(1+ω2)}=(2a−m−n)(−lω2−mω2+2nω2)(−lω+2 mω−nω)=(2l−m−n)(−l−m+2n)(−l−n+2 m)ω2.ω\begin{aligned} & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{y}^2\right)=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+(-1) \mathrm{xy}+1^2 \mathrm{y}^2\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+\left(\omega+\omega^2\right) \mathrm{xy}+\omega^3 \mathrm{y}^2\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{xy} \omega+\mathrm{xy} \omega^2+\mathrm{y}^2 \omega^3\right) \\ & \left.=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)+\mathrm{y} \omega^2\right)(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega^2\right) \\ & =\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2+l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right)\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2\right. \\ & \\ & \left.+l \omega+\mathrm{m} \omega^3+\mathrm{n} \omega\right)\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2+l \omega^2+\mathrm{m} \omega^4+\mathrm{n} \omega^3\right) \\ & =\left\{2 l+\mathrm{m}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{n}\left(\omega+\omega^2\right)\right\}\{l(1+\omega) \\ & \left.+\mathrm{m}(1+\omega)+2 \mathrm{n} \omega^2\right\}\left\{l\left(1+\omega^2\right)+2 \mathrm{~m} \omega+\mathrm{n}\left(1+\omega^2\right)\right\} \\ & =(2 \mathrm{a}-\mathrm{m}-\mathrm{n})\left(-l \omega^2-\mathrm{m} \omega^2+2 \mathrm{n} \omega^2\right)(-l \omega+2 \mathrm{~m} \omega-\mathrm{n} \omega) \\ & =(2 l-\mathrm{m}-\mathrm{n})(-l-\mathrm{m}+2 \mathrm{n})(-l-\mathrm{n}+2 \mathrm{~m}) \omega^2 . \omega\end{aligned} =(2l−m−n)(2n−l−m)(2 m−l−n)=(2l+l)(2n+n)(2 m+m)=3l.3n.3 m\begin{aligned} & =(2 l-\mathrm{m}-\mathrm{n})(2 \mathrm{n}-l-\mathrm{m})(2 \mathrm{~m}-l-\mathrm{n}) \\ & =(2 l+l)(2 \mathrm{n}+\mathrm{n})(2 \mathrm{~m}+\mathrm{m}) \\ & =3 l .3 \mathrm{n} .3 \mathrm{~m}\end{aligned} =27/mn==27 / \mathrm{mn}= ডানপক্ষ ∴{f(ω)}3+{f(ω2)}3}=27lmn\left.\therefore \quad\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\omega^2\right)\right\}^3\right\}=27 \mathrm{lmn}. (প্রমাণিত) l+m+n=0l=−m−nm=−l−nn=−m−l\begin{aligned} & l+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0 \\ & l=-\mathrm{m}-\mathrm{n} \\ & \mathrm{m}=-l-\mathrm{n} \\ & \mathrm{n}=-\mathrm{m}-l\end{aligned} [বি: দ্র: l,ml,m এবংnn এর পরিবর্তে যথাক্রমে p,qp, q এবং rr হবে]
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাশহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন