Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলো একককর একটি কাল্পনিক ঘনমূল। [গণিত] অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত) [বি: দ্র: x, y ও z এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b ও c হবে]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

Z1=10+6i,Z2=4+6i,p=a+bω+cω2,q=a+bω2+cωZ_1=10+6 i, Z_2=4+6 i, p=a+b \omega+c \omega^2, q=a+b \omega^2+c \omega চারটি জটিল সংখ্যা যেখানে, ω\omega এককের জটিল ঘনমূল।

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, (1+i3)n(1−1i)n=2\left(1+i^3\right)^n\left(1-\frac{1}{i}\right)^n=\sqrt{2} বা, (1+i2,i)n(1−1×ii2)=2\left(1+i^2, i\right)^n\left(1-\frac{1 \times i}{i^2}\right)=\sqrt{2} বা, (1−i)n(1−i−1)=2[∵i2=−1](1-i)^n\left(1-\frac{i}{-1}\right)=\sqrt{2} \quad\left[\because i^2=-1\right] বা, (1−i)n(1+i)n=2(1-i)^n(1+i)^n=\sqrt{2} বা, {(1−i)(1+i)}n=2\{(1-i)(1+i)\}^n=\sqrt{2} বা, {12−(i)2}n=2\left\{1^2-(i)^2\right\}^n=\sqrt{2} বা, (1−i2)n=2\left(1-i^2\right)^n=\sqrt{2} বা, (1+i)n=2[∵i2=−1](1+i)^n=\sqrt{2}\left[\because i^2=-1\right] বা, 2n=212∴n=122^n=2^{\frac{1}{2}} \quad \therefore \quad \mathrm{n}=\frac{1}{2} নির্ণেয় মান : n=12\mathrm{n}=\frac{1}{2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, x+y+z=Rx+y+z=R আবার, R=0∴x+y+z=0R=0 \quad \therefore x+y+z=0 এখানে, ω\omega হলো একককর একটি কাল্পনিক ঘনমূল। ∴\therefore \quad অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি =ω2=\omega^2 ধরি, x+yω+zω2=ax+y \omega+z \omega^2=a এবং x+yω2+zω=bx+y \omega^2+z \omega=b ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)(a2+b2−ab)=(a+b){(a+b)2−2ab−ab}=(a+b){(a+b)2−3ab}\begin{aligned} & \therefore \quad\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3=a^3+b^3 \\ &=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\ &=(a+b)\left(a^2+b^2-a b\right) \\ &=(a+b)\left\{(a+b)^2-2 a b-a b\right\} \\ &=(a+b)\left\{(a+b)^2-3 a b\right\}\end{aligned} এখন, a+b=(x+yω+zω2)+(x+yω2+zω)a+b=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)+\left(x+y \omega^2+z \omega\right) =2x+y(ω+ω2)+z(ω+ω2)=2x+y(−1)+z(−1)[∵1+ω+ω2=0∴ω+ω2=−1]=2x−y−z=3x−(x+y+z)=3x−0[∵x+y+z=0]=3x\begin{aligned} & =2 x+y\left(\omega+\omega^2\right)+z\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =2 x+y(-1)+z(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0 \therefore \omega+\omega^2=-1\right] \\ & =2 x-y-z=3 x-(x+y+z) \\ & =3 x-0[\because x+y+z=0] \\ & =3 x\end{aligned} এবং ab=(x+yω+zω2)(x+yω2+zω)a b=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)\left(x+y \omega^2+z \omega\right) =x2+xyω2+zxω+xyω+y2ω3+yzω2+zxω2+yzω4+z2ω3=x2+xy(ω2+ω)+zx(ω+ω2)+yz(ω2+ω2)+y2+z2[∵ω3=1]=x2+y2+z2−xy−yz−zx[1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =x^2+x y \omega^2+z x \omega+x y \omega+y^2 \omega^3+y z \omega^2+z x \omega^2+y z \omega^4+z^2 \omega^3 \\ & =x^2+x y\left(\omega^2+\omega\right)+z x\left(\omega+\omega^2\right)+y z\left(\omega^2+\omega^2\right)+y^2+z^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\left[1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} =x2+(y+z)2−2yz−yz−x(y+z)=x^2+(y+z)^2-2 y z-y z-x(y+z) =x2+(−x)2−3yz−x(−x)[∵x+y+z=0]=x^2+(-x)^2-3 y z-x(-x)[\because x+y+z=0] =x2+x2−3yz+x2=3x2−3yz=x^2+x^2-3 y z+x^2=3 x^2-3 y z বামপক্ষ =(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3 =(a+b){(a+b)2−3ab}=3x{(3x)2−3(3x2−3yz)}=3x(9x2−9x2+9yz)\begin{aligned} & =(a+b)\left\{(a+b)^2-3 a b\right\} \\ & =3 x\left\{(3 x)^2-3\left(3 x^2-3 y z\right)\right\} \\ & =3 x\left(9 x^2-9 x^2+9 y z\right)\end{aligned} =3x×9yz=27xyz=L=3 \mathrm{x} \times 9 \mathrm{yz}=27 \mathrm{xyz}=\mathrm{L} ডানপক্ষ ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=27xyz\therefore \quad\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3=27 x y z. (প্রমাণিত) [বি: দ্র: x, y ও z এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b ও c হবে]

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=10+6i\mathrm{z}_1=10+6 \mathrm{i} z2=4+6iz=x+iy\begin{aligned} & z_2=4+6 i \\ & z=x+i y\end{aligned} এবং arg⁡(z−z1z−z2)=π4\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{4} বা, arg⁡(x+iy−10−6ix+iy−4−6i)=π4\arg \left(\frac{x+i y-10-6 i}{x+i y-4-6 i}\right)=\frac{\pi}{4} বা, arg⁡{x−10+i(y−6)x−4+i(y−6)}=π4\arg \left\{\frac{x-10+i(y-6)}{x-4+i(y-6)}\right\}=\frac{\pi}{4} বা, arg⁡{(x−10)+i(y−6)}−arg⁡{(x−4)+i(y−6)}=π4\arg \{(x-10)+i(y-6)\}-\arg \{(x-4)+i(y-6)\}=\frac{\pi}{4} বা, tan⁡−1y−6x−10−tan⁡−1y−6x−4=π4\tan^{-1} \frac{y-6}{x-10}-\tan^{-1} \frac{y-6}{x-4}=\frac{\pi}{4} বা, tan⁡−1y−6x−10−y−6x−41+y−6x−10×y−6x−4=π4\tan^{-1} \frac{\frac{y-6}{x-10}-\frac{y-6}{x-4}}{1+\frac{y-6}{x-10} \times \frac{y-6}{x-4}}=\frac{\pi}{4} বা, \tan^{-1} \frac{\frac{(y-6)(x-4)-(y-6)(x-10)}{(x-10}(x-4)}}{1+\frac{(y-6)(y-6)}{(x-10}(x-4)}}=\frac{\pi}{4} বা, \frac{\frac{(x y-4 y-6 x+24)-(x y-10 y-6 x+60)}{(x-10}(x-4)}}{\frac{(x-10)(x-4)+(y-6)^2}{(x-10}(x-4)}}=\tan \frac{\pi}{4} বা, \frac{\frac{x y-4 y-6 x+24-x y+10 y+6 x-60}{(x-10}(x-4)}}{\frac{x^2-4 x-10 x+40+y^2-12 y+36}{(x-10}(x-4)}}=1 বা, \frac{\frac{6 y-36}{(x-10}(x-4)}}{\frac{x^2+y^2-14 x-12 y+76}{(x-10}(x-4)}}=1 বা, \frac{6 y-36}{(x-10}(x-4)} \times \frac{(x-10)(x-4)}{x^2+y^2-14 x-12 y+76}=1 বা, 6y−36x2+y2−14x−12y+76=1\frac{6 y-36}{x^2+y^2-14 x-12 y+76}=1 বা, x2+y2−14x−12y+76=6y−36x^2+y^2-14 x-12 y+76=6 y-36 বা, x2+y2−14x−12y+76−6y+36=0x^2+y^2-14 x-12 y+76-6 y+36=0 ∴x2+y2−14x−18y+112=0\therefore x^2+y^2-14 x-18 y+112=0. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন