Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে,

উদ্দীপক

z=2+ixz=2+i x

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

W ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, ω=−1+3i2=−12+32i\omega=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} এবং ω2=−1−3i2=−12−32i\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} ω\omega এর আর্গুমেন =arg⁡(ω)=π−tan⁡−1∣−32−12∣=\arg (\omega)=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| =π−tan⁡−1(3)=π−π3=2π3=\pi-\tan^{-1}(\sqrt{3})=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} ω2\omega^2 এর আর্গুমেট =arg⁡(ω2)=−π+tan⁡−1∣3212∣=\arg \left(\omega^2\right)=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right| =−π+tan⁡−1(3)=−π+π3=−2π3=-\pi+\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3} ∴ω\therefore \omega ও ω2\omega^2 এর মধ্যবর্তী কোণ =2π3−(−2π3)=2π3+2π3=4π3=\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{2 \pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}=\frac{4 \pi}{3} নির্ণেয় কোণ 4π3\frac{4 \pi}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, z3=a+ib\sqrt[3]{z}=a+i b বা, z=(a+ib)3=a3+3a2×ib+3a(ib)2+i3b3z=(a+i b)^3=a^3+3 a^2 \times i b+3 a(i b)^2+i^3 b^3 =a3+i3a2b+3a2b2+(i2)ib3=a^3+i 3 a^2 b+3 a^2 b^2+\left(i^2\right) i b^3 =a3+i3a2b−3ab2−ib3[∵i2=−1]=a^3+i 3 a^2 b-3 a b^2-i b^3\left[\because i^2=-1\right] =(a3−3ab2)+i(3a2b−b3)=\left(a^3-3 a b^2\right)+i\left(3 a^2 b-b^3\right) ∴zˉ=(a3−3ab2)−i(3a2b−b3)=a3−3ab2−i3a2b+ib3\therefore \bar{z}=\left(a^3-3 a b^2\right)-i\left(3 a^2 b-b^3\right)=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b+i b^3 =a3−3ab2−i3a2b−(−1)ib3=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b-(-1) i b^3 =a3−3ab2−i3a2b−i2×i×b3[∵i2=−1]=a^3-3 a b^2-i 3 a^2 b-i^2 \times i \times b^3\left[\because i^2=-1\right] =a3−i3a2b−3ab2−i3b3=a^3-i 3 a^2 b-3 a b^2-i^3 b^3 =(a)3−3a2(ib)+3⋅a(ib)2−(ib)3=(a−ib)3=(a)^3-3 a^2(i b)+3 \cdot a(i b)^2-(i b)^3=(a-i b)^3 ∴zˉ3=a−ib\therefore \sqrt[3]{\bar{z}}=a-i b \therefore \frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{\bar{z}}}=\frac{a+i b}{a-i b}=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b}(a+i b)}=\frac{(a+i b)^2}{a^2-i^2 b^2} =a2+2aib+i2b2a2+b2[∵i2=−1]=\frac{a^2+2 a i b+i^2 b^2}{a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] =(a2−b2)+i2aba2+b2[∵i2=−1]=\frac{\left(a^2-b^2\right)+i 2 a b}{a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] =a2−b2a2+b2+2aba2+b2=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}+\frac{2 a b}{a^2+b^2} ∴Re⁡(z3z3)=a2−b2a2+b2.\therefore \operatorname{Re}\left(\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\right)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2 .} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে，z=z+ixz=z+i x এবং z⃗=2－ix\vec{z}=2－ix এখানে,，zˉz=a−ib\frac{\bar{z}}{z}=a-i b বা，2−ix2+ix=a−ib\frac{2-i x}{2+i x}=a-i b বা， 2−ix=2a−2ib+iax−i2bx2-i x=2 a-2 i b+i a x-i^2 b x বা， 2−ix=2a−2ib+iax+bx[∵i2=−1]2-i x=2 a-2 i b+i a x+b x\left[\because i^2=-1\right] বা，bx+ix+iax=2−2a+2ibb x+i x+i a x=2-2 a+2 i b বা，x(b+i+ia)=2−2a+2ibx(b+i+i a)=2-2 a+2 i b ∴x=2−2a+2ibb+i(1+a)=(2−2a+2ib){b−i(1+a)}{b+i(1+a)}{b−i(1+a)}\therefore \quad x =\frac{2-2 a+2 i b}{b+i(1+a)}=\frac{(2-2 a+2 i b)\{b-i(1+a)\}}{\{b+i(1+a)\}\{b-i(1+a)\}} =\frac{2 b-2 i(1+a)-2 a b+2 a i(1+a)+2 i b^2-2 i^2 b(1+a)}{b^2-i^2(1+a}^2} =\frac{2 b-2 i-2 i a-2 a b+2 i a+2 i a^2+2 i b^2+2 b+2 a b}{b^2+(1+a}^2}\left[\because i^2=-1\right] =4b−2i+2i(a2+b2)b2+1+2a+a2=4b−2i+2i×11+1+2a[∵a2+b2=1]=\frac{4 b-2 i+2 i\left(a^2+b^2\right)}{b^2+1+2 a+a^2}=\frac{4 b-2 i+2 i \times 1}{1+1+2 a}\left[\because a^2+b^2=1\right] =4b−2i+2i2+2a=4b2+2a=2⋅2b2(1+a)=2b1+a=\frac{4 b-2 i+2 i}{2+2 a}=\frac{4 b}{2+2 a}=\frac{2 \cdot 2 b}{2(1+a)}=\frac{2 b}{1+a} ∴x=2 b1+a\therefore \mathrm{x}=\frac{2 \mathrm{~b}}{1+\mathrm{a}}; যা xx এর একটি বাস্তব মান। অতএব, zˉz=a−ib\frac{\bar{z}}{z}=a-i b সমীকরণকে xx এর একটি বাস্তব মান সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাসরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন