Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর: [গণিত] এর বর্গমূল [গণিত] নির্ণেয় বর্গমূল [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : m=aω2+co4\mathrm{m}=\mathrm{a} \omega^2+\mathrm{co}^4 এবং n=aω4+co2\mathrm{n}=\mathrm{a} \omega^4+\mathrm{co}^2; যেখানে ω=−1+3i2\omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}. দৃশ্যকল্প-২ : (1+y)m=b0+b1y+b2y2+b3y3+(1+y)^m=b_0+b_1 y+b_2 y^2+b_3 y^3+ ……+bmym\ldots \ldots+b^m y^m.

Chittagong · 2025

উত্তর

8−4−58-4 \sqrt{-5} এর বর্গমূল =8−4−5=\sqrt{8-4 \sqrt{-5}} =8−45i2=8−i45=8−i24⋅5=8−i2⋅20=10−i220−2=(10)2−2⋅10⋅i2+(i2)2=(10−i2)2=±(10−i2)\begin{aligned} & =\sqrt{8-4 \sqrt{5 \mathrm{i}^2}} \\ & =\sqrt{8-\mathrm{i} 4 \sqrt{5}} \\ & =\sqrt{8-\mathrm{i} 2 \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}} \\ & =\sqrt{8-\mathrm{i} 2 \cdot \sqrt{20}} \\ & =\sqrt{10-\mathrm{i} 2 \sqrt{20}-2} \\ & =\sqrt{(\sqrt{10})^2-2 \cdot \sqrt{10}} \cdot \mathrm{i} \sqrt{2}+(\mathrm{i} \sqrt{2})^2 \\ & =\sqrt{(\sqrt{10}-\mathrm{i} \sqrt{2})^2}= \pm(\sqrt{10}-\mathrm{i} \sqrt{2})\end{aligned} নির্ণেয় বর্গমূল =±(10−i2)= \pm(\sqrt{10}-i \sqrt{2}).

উত্তর

দেওয়া আছে, m=aω2+cω4=aω2+cω[∵ω3=1]\mathrm{m}=\mathrm{a} \omega^2+\mathrm{c} \omega^4=\mathrm{a} \omega^2+\mathrm{c} \omega \quad\left[\because \omega^3=1\right] এবং n=aω4+cω2=aω+cω2[∵ω3=1]\mathrm{n}=\mathrm{a} \omega^4+\mathrm{c} \omega^2=\mathrm{a} \omega+\mathrm{c} \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] ∴m+n=aω2+cω+aω+cω2=a(ω2+ω)+c(ω+ω2)=−a−c[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned}\therefore \quad m+n & =a \omega^2+c \omega+a \omega+c \omega^2 \\& =a\left(\omega^2+\omega\right)+c\left(\omega+\omega^2\right) \\& =-a-c\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} এবং mn=(aω2+cω)(aω+cω2)\mathrm{mn}=\left(\mathrm{a} \omega^2+\mathrm{c} \omega\right)\left(\mathrm{a} \omega+\mathrm{c} \omega^2\right) =a2ω3+acω4+acω2+c2ω3=a2+acω+acω2+c2⋅[∵ω3=1]=a2+ac(ω+ω2)+c2=a2−ac+c2[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned}& =a^2 \omega^3+a c \omega^4+a c \omega^2+c^2 \omega^3 \\& =a^2+a c \omega+a c \omega^2+c^2 \cdot\left[\because \omega^3=1\right] \\& =a^2+a c\left(\omega+\omega^2\right)+c^2 \\& =a^2-a c+c^2 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} এখন, m3+n3=0\mathrm{m}^3+\mathrm{n}^3=0 বা, (m+n)(m2−mn+n2)=0(m+n)\left(m^2-m n+n^2\right)=0 বা, (m+n){(m2+n2)−mn}=0(m+n)\left\{\left(m^2+n^2\right)-m n\right\}=0 বা, (m+n){(m+n)2−2mn−mn}=0(m+n)\left\{(m+n)^2-2 m n-m n\right\}=0 বা, (m+n){(m+n)2−3mn}=0(m+n)\left\{(m+n)^2-3 m n\right\}=0 বা, (−a−c){(−a−c)2−3(a2−ac+c2)}=0(-a-c)\left\{(-a-c)^2-3\left(a^2-a c+c^2\right)\right\}=0 বা, −(a+c){(a+c)2−3a2+3ac−3c2}=0-(\mathrm{a}+\mathrm{c})\left\{(\mathrm{a}+\mathrm{c})^2-3 \mathrm{a}^2+3 \mathrm{ac}-3 \mathrm{c}^2\right\}=0 বা, (a+c)(a2+2ac+c2−3a2+3ac−3c2)=0(a+c)\left(a^2+2 a c+c^2-3 a^2+3 a c-3 c^2\right)=0 [-1 দ্বারা গুণ করে] বা, (a+c)(−2a2+5ac−2c2)=0(a+c)\left(-2 a^2+5 a c-2 c^2\right)=0 বা, (a+c)(−2a2+4ac+ac−2c2)=0(a+c)\left(-2 a^2+4 a c+a c-2 c^2\right)=0 বা, (a+c){−2a(a−2c)+c(a−2c)}=0(a+c)\{-2 a(a-2 c)+c(a-2 c)\}=0 বা, (a+c)(a−2c)(−2a+c)=0(a+c)(a-2 c)(-2 a+c)=0 হয়, a+c=0a+c=0 অথবা, a−2c=0\mathrm{a}-2 \mathrm{c}=0 বা, a=2c\mathrm{a}=2 \mathrm{c} অথবা, −2a+c=0-2 a+c=0 বা, 2a=c2 \mathrm{a}=\mathrm{c} অতএব, a+c=0a+c=0 অথবা 2a=c2 a=c অথবা a=2ca=2 c. (প্রমাণিত)

উত্তর

[বি.দ্র.: প্রশ্নে দৃশ্যকল্প-২ এর ডানপক্ষের শেষপদ bmymb^m y^m এর পরিবর্তে bmymb_m y^m হবে] দেওয়া আছে, (1+y)m=b0+b1y+b2y2+b3y3+…..+bmym(1+y)^m=b_0+b_1 y+b_2 y^2+b_3 y^3+\ldots . .+b_m y^m …..(1)\ldots..(1) (1)(1)নং এ y=1\mathrm{y}=1 বসিয়ে পাই, (1+1)m=b0+b1+b2+b3+………+bm(1+1)^m=b_0+b_1+b_2+b_3+\ldots \ldots \ldots+b_m বা, 2m=b0+b1+b2+b3+2^m=b_0+b_1+b_2+b_3+ \qquad +bm+b_m …..(2)\ldots..(2) ()(1)(1)নং এ y=iy=i বসিয়ে পাই, (1+i)m=b0+b1i+b2i2+b3i3+……….(1+i)^m=b_0+b_1 i+b_2 i^2+b_3 i^3+\ldots \ldots \ldots . বা, (1+i)m=b0+b1i−b2−b3i+…….(1+i)^m=b_0+b_1 i-b_2-b_3 i+\ldots \ldots .. বা, (1+i)m=(b0−b2+b4−…..)+i(b1−b3+b5−…..)(1+i)^m=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots ..\right)+i\left(b_1-b_3+b_5-\ldots ..\right)…(3)\ldots(3) আবার, (1)(1) নং এ y=−i\mathrm{y}=-\mathrm{i} বসিয়ে পাই, (1−i)m=b0+b1(−i)+b2(−i)2+b3(−i)3+………(1-i)^m=b_0+b_1(-i)+b_2(-i)^2+b_3(-i)^3+\ldots \ldots \ldots বা, (1−i)m=b0−b1i−b2+b3i+b4−……(1-i)^m=b_0-b_1 i-b_2+b_3 i+b_4-\ldots \ldots. বা, (1−i)m=(b0−b2+b4−…..)−i(b1−b3+b5…..)(1-i)^m=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots ..\right)-i\left(b_1-b_3+b_5 \ldots ..\right)…(4)\ldots(4) (3)(3)নং ও (4)(4)নং গুণ করে পাই, (1+i)m×(1−i)m=(b0−b2+b4……)2−i2(b1b3+b5−…..)2(1+i)^m \times(1-i)^m=\left(b_0-b_2+b_4 \ldots \ldots\right)^2-i^2\left(b_1b_3+b_5-\ldots . .\right)^2 বা, (1−i2)m=(b0−b2+b4−….)2+(b1−b3+b5−……)2[∵i2=−1]\left(1-i^2\right)^m=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots .\right)^2+\left(b_1-b_3+b_5-\ldots \ldots\right)^2\left[\because i^2=-1\right] বা, (1+1)m=(b0−b2+b4−…..)2+(b1−b3+b5−…..)2(1+1)^m=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots . .\right)^2+\left(b_1-b_3+b_5-\ldots . .\right)^2 বা, 2m=(b0−b2+b4−……)2+(b1−b3+b5−……)2……2^m=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots \ldots\right)^2+\left(b_1-b_3+b_5-\ldots \ldots\right)^2 \ldots \ldots…(3)\ldots(3) (2)(2)নং ও (5)(5)নং হতে পাই, b0+b1+b2+b3+…….bm=(b0−b2+b4−……)2+(b1−b3+b5−…..)2=2m∴(b0−b2+b4−…….)2+(b1−b3+b5−…….)2=b0+b1\begin{aligned} & b_0+b_1+ b_2+b_3+\ldots \ldots . b_m \\ &=\left(b_0-b_2+b_4-\ldots \ldots\right)^2+\left(b_1-b_3+b_5-\ldots . .\right)^2=2^m \\ & \therefore \quad\left(b_0-b_2+b_4-\ldots \ldots .\right)^2+\left(b_1-b_3+b_5-\ldots \ldots .\right)^2=b_0+b_1\end{aligned} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন