Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল [গণিত] হলে, অপর একটি মূল [গণিত] যেখানে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, কাল্পনিক মূলদ্বয়ের গুণফল, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, দেখাও যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্য-১ :f(x)=2x+3i+1: f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+\sqrt{3} \mathrm{i}+1, h(x)=2x−3i+1h(x)=2 x-\sqrt{3} i+1 দৃশ্য-২: g(x)=x+1\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1.

Sylhet · 2025

উত্তর

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω\omega হলে, অপর একটি মূল ω2\omega^2 যেখানে, ω=12(−1+r˙3)\omega=\frac{1}{2}(-1+\dot{\mathrm{r}} \sqrt{3}) এবং ω2=12(−1−r˙3)\omega^2=\frac{1}{2}(-1-\dot{\mathrm{r}} \sqrt{3}) এখন, কাল্পনিক মূলদ্বয়ের গুণফল, ω⋅ω2=12(−1+i˙3)⋅12(−1−i˙3)\omega \cdot \omega^2=\frac{1}{2}(-1+\dot{\mathrm{i}} \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}(-1-\dot{\mathrm{i}} \sqrt{3}) বা, ω3=14{(−1+r3)(−1−i3)}\omega^3=\frac{1}{4}\{(-1+\mathrm{r} \sqrt{3})(-1-\mathrm{i} \sqrt{3})\} বা, ω3=14{(−1)2−(i3)2}\omega^3=\frac{1}{4}\left\{(-1)^2-(\mathrm{i} \sqrt{3})^2\right\} =14(1−i23)=14(1+3)[∵i2=−1]=14×4=1\begin{aligned}& =\frac{1}{4}\left(1-\mathrm{i}^2 3\right)=\frac{1}{4}(1+3)\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] \\& =\frac{1}{4} \times 4=1\end{aligned} ∴ω3=1\therefore \quad \omega^3=1. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=2x+3i+1f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+\sqrt{3} \mathrm{i}+1 এবং h(x)=2x−3i+1\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-\sqrt{3} \mathrm{i}+1 f(p)=0f(p)=0 হলে, 2p+3i+1=02 p+\sqrt{3} i+1=0 বা, 2p=−1−3i2 p=-1-\sqrt{3} i ∴p=12(−1−3i)\therefore \quad p=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i) আবার, h(q)=0h(q)=0 হলে, 2q−3i+1=02 q-\sqrt{3} i+1=0 বা, 2q=−1+3i2 q=-1+\sqrt{3} i ∴q=12(−1+3i)\therefore \quad q=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i) ∴pn+qn={12(−1−3i)}n+{12(−1+3i)}n=(ω2)n+ωn=ω2n+ωn=ωn+ω2n\begin{aligned} \therefore \quad p^n+q^n & =\left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i)\right\}^n+\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\right\}^n \\ & =\left(\omega^2\right)^n+\omega^n=\omega^{2 n}+\omega^n=\omega^n+\omega^{2 n}\end{aligned} এখানে, n=3 m\mathrm{n}=3 \mathrm{~m} হলে, pn+qn=ωn+ω2n=ω3m+(ω2)3m=(ω3)m+(ω3)2m=1+1[∵ω3=1]=2\begin{aligned} p^n+q^n & =\omega^n+\omega^{2 n}=\omega^{3 m}+\left(\omega^2\right)^{3 m} \\ & =\left(\omega^3\right)^m+\left(\omega^3\right)^{2 m} \\ & =1+1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =2\end{aligned} n=3m+1n = 3m + 1 হলে, pn+qn=ωn+ω2n=ω3m+1+(ω2)3m+1=ω3m+1+ω6m+2=ω3m⋅ω+ω6m⋅ω2=(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=1⋅ω+1⋅ω2[∵ω3=1]=1+ω2=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} p^n+q^n & =\omega^n+\omega^{2 n}=\omega^{3 m+1}+\left(\omega^2\right)^{3 m+1} \\ & =\omega^{3 m+1}+\omega^{6 m+2}=\omega^{3 m} \cdot \omega+\omega^{6 m} \cdot \omega^2 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 \\ & =1 \cdot \omega+1 \cdot \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1+\omega^2=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} n=3m+2n=3m + 2 হলে, pn+qn=ωn+ω2n=ω3m+2+(ω2)3m+2=ω3m⋅ω2+ω6m⋅ω4=(ω3)m⋅ω2+(ω3)2m⋅ω3⋅ω=1⋅ω2+1⋅1⋅ω⋅[∵ω3=1]=ω2+ω=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} p^n+q^n & =\omega^n+\omega^{2 n}=\omega^{3 m+2}+\left(\omega^2\right)^{3 m+2} \\ & =\omega^{3 m} \cdot \omega^2+\omega^{6 m} \cdot \omega^4 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^3 \cdot \omega \\ & =1 \cdot \omega^2+1 \cdot 1 \cdot \omega \cdot\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =\omega^2+\omega \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} অর্থাৎ, pn+qn=2;\mathrm{p}^{\mathrm{n}}+\mathrm{q}^{\mathrm{n}}=2 ; যখন n,3\mathrm{n}, 3 দ্বারা বিভাজ্য, অথবা - 11 যখন nn অপর যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x+1\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1 এবং z=p+iq\mathrm{z}=\mathrm{p}+\mathrm{iq} ∴g(z−1)=z−1+1=z\therefore \quad g(z-1)=z-1+1=z এবং g(z+1)=z+1+1=z+2\mathrm{g}(\mathrm{z}+1)=\mathrm{z}+1+1=\mathrm{z}+2 এখন, ∣g(z−1)∣+∣g(z+1)∣=5|g(z-1)|+|g(z+1)|=5 বা, ∣z∣+∣z+2∣=5|z|+|z+2|=5 বা, ∣p+iq∣+∣p+iq+2∣=5|p+i q|+|p+i q+2|=5 বা, ∣(p+2)+iq∣=5−∣p+iq∣|(p+2)+i q|=5-|p+i q| বা, (p+2)2+q2=5−p2+q2\sqrt{(p+2)^2+q^2}=5-\sqrt{p^2+q^2} বা, (p+2)2+q2=(5−p2+q2)2(p+2)^2+q^2=\left(5-\sqrt{p^2+q^2}\right)^2 [বর্গ করে] বা, p2+2.p.2+22+q2=52−2.5p2+q2+(p2+q2)\mathrm{p}^2+2 . \mathrm{p} .2+2^2+\mathrm{q}^2=5^2-2.5 \sqrt{\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2}+\left(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\right) বা, p2+4p+4+q2=25−10p2+q2+p2+q2p^2+4 p+4+q^2=25-10 \sqrt{p^2+q^2}+p^2+q^2 বা, p2+4p+4+q2−25−p2−q2=−10p2+q2p^2+4 p+4+q^2-25-p^2-q^2=-10 \sqrt{p^2+q^2} বা, 4p−21=−10p2+q24 p-21=-10 \sqrt{p^2+q^2} বা, (4p−21)2=(−10p2+q2)2(4 p-21)^2=\left(-10 \sqrt{p^2+q^2}\right)^2 [বর্গ করে] বা, (4p)2−2.4p.21+(21)2=100(p2+q2)(4 \mathrm{p})^2-2.4 \mathrm{p} .21+(21)^2=100\left(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\right) বা, 16p2−168p+441=100p2+100q216 p^2-168 p+441=100 p^2+100 q^2 বা, 100p2+100q2−16p2+168p=441100 p^2+100 q^2-16 p^2+168 p=441 বা, 84p2+168p+100q2=44184 p^2+168 p+100 q^2=441 বা, 84(p2+2p)+100q2=44184\left(p^2+2 p\right)+100 q^2=441 বা, 84(p2+2p+1)+100q2=441+8484\left(p^2+2 p+1\right)+100 q^2=441+84 বা, 84(p+1)2+100q2=52584(p+1)^2+100 q^2=525 বা, 84(p+1)2525+100q2525=1\frac{84(\mathrm{p}+1)^2}{525}+\frac{100 \mathrm{q}^2}{525}=1 বা, 4(p+1)225+4q221=1\frac{4(p+1)^2}{25}+\frac{4 q^2}{21}=1 ∴(p+1)2(52)2+q2(212)2=1\therefore \frac{(p+1)^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}+\frac{q^2}{\left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2}=1; যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ : (p+1)2(52)2+q2(212)2=1\frac{(p+1)^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}+\frac{q^2}{\left(\frac{\sqrt{21}}{2}\right)^2}=1 এবং ইহা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন