Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] ও [গণিত] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে, তবে প্রমাণ কর যে, অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] ধরি, [গণিত] নং সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] এবং [গণিত] নং ও [গণিত] সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল [গণিত] ও [গণিত] হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] এবং 1. [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা গঠিত সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অপর মূলদ্ধয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ [গণিত] .(প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

যদি ও সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে, তবে প্রমাণ কর যে, অপর ম…

উদ্দীপক

f(x)=x2+mx+n,g(x)=x2+nx+m,f(x)=x^2+m x+n, g(x)=x^2+n x+m, h(x)=2x3−6x2+4x−2h(x)=2 x^3-6 x^2+4 x-2

Rajshahi · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 3x2+7x+8=03 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}+8=0 সমীকরণটির নিষ্চায়ক = b² + 4ac =72−4⋅3⋅8=49−96=−47<0=7^2-4 \cdot 3 \cdot 8=49-96=-47<0 যেহেতু সমীকরণটির নিশ্চায়ক < 0 সুতরাং সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল এবং অসমান ।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2+mx+nf(x)=x^2+m x+n আবার, f(x)=0f(\mathrm{x})=0 বা, x2+mx+n=0\mathrm{x}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{n}=0….(i)\ldots.(i) এবং g(x)=x2+nx+m\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{m} আবার, g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, x2+nx+m=0\mathrm{x}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{m}=0….(ii)\ldots.(ii) ধরি, (i)(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta ∴α+β=−m\therefore \quad \alpha+\beta=-m এবং αβ=n\alpha \beta=n এবং (ii)(ii) সমীকরণের মূলদ্বয় α,γ\alpha, \gamma ∴α+γ=−n\therefore \quad \alpha+\gamma=-\mathrm{n} এবং αγ=m\alpha \gamma=\mathrm{m} (i)(i) নং ও (ii)(ii) সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল α\alpha ∴α2+mα+n=0\therefore \quad \alpha^2+m \alpha+n=0….(iii)\ldots.(iii) এবং α2+nα+m=0\alpha^2+\mathrm{n} \alpha+\mathrm{m}=0….(iv)\ldots.(iv) (ii)(ii) ও (iv)(iv) হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে পাই, α2m2−n2=αn−m=1n−m\frac{\alpha^2}{m^2-n^2}=\frac{\alpha}{n-m}=\frac{1}{n-m} বা, \frac{\alpha^2}{(m+n}(m-n)}=\frac{\alpha}{-(m-n)}=\frac{1}{-(m-n)} বা, α2m+n=α−1=1−1\frac{\alpha^2}{m+n}=\frac{\alpha}{-1}=\frac{1}{-1} অর্থাৎ α=−(m+n)\alpha=-(m+n) এবং α=1\alpha=1 ∴1=−(m+n)\therefore \quad 1=-(m+n) বা, m+n=−1m+n=-1 α=1\alpha=1 হলে, 1.β=n1 . \beta=n বা, β=n\beta=n এবং 1. γ=m\gamma=m বা, γ=m\gamma=\mathbf{m} ∴β,γ\therefore \quad \beta, \gamma দ্বারা গঠিত সমীকরণ, x2−(β+γ)x+βγ=0\mathrm{x}^2-(\beta+\gamma) \mathrm{x}+\beta \gamma=0 বা, x2−(m+n)x+mn=0x^2-(m+n) x+m n=0 বা, x˙2−(−1)x+mn=0\dot{x}^2-(-1) x+m n=0 ∴x2+x+mn=0\therefore \quad \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+\mathrm{mn}=0 ∴\therefore \quad অপর মূলদ্ধয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ x2+x+mn=0\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+\mathrm{mn}=0.(প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x)=2x3−6x2+4x−2h(x)=2 x^3-6 x^2+4 x-2 আবার, h(x)=0\mathrm{h}(\mathrm{x})=0 বা, 2x3−6x2+4x−2=02 x^3-6 x^2+4 x-2=0 …..(1)\ldots..(1) (1)(1) নং এর মূলত্রয় a, b, c হলে, a+b+c=−−62=3ab+bc+ca=42=2\begin{aligned} & a+b+c=-\frac{-6}{2}=3 \\ & a b+b c+c a=\frac{4}{2}=2\end{aligned} এবং abc=−−22=1a b c=-\frac{-2}{2}=1 এখন, ∑a3b=a3b+b3c+c3a+ab3+bc3+ca3\sum a^3 b=a^3 b+b^3 c+c^3 a+a b^3+b c^3+c a^3 =a3b+ab3+b3c+bc3+c3a+ca3=ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)=ab(a2+b2+c2−c2)+bc(a2+b2+c2−a2)+ca(a2+b2+c2−b2)=ab(a2+b2+c2)−abc2+bc(a2+b2+c2)−a2bc+ca(a2+b2+c2)−acb2=(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)−abc(c+a+b)\begin{aligned} & =a^3 b+a b^3+b^3 c+b c^3+c^3 a+c a^3 \\ & =a b\left(a^2+b^2\right)+b c\left(b^2+c^2\right)+c a\left(c^2+a^2\right) \\ & =a b\left(a^2+b^2+c^2-c^2\right)+b c\left(a^2+b^2+c^2-a^2\right) \\ & \quad+c a\left(a^2+b^2+c^2-b^2\right) \\ & =a b\left(a^2+b^2+c^2\right)-a b c^2+b c\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2 b c \\ & +c a\left(a^2+b^2+c^2\right)-a c b^2 \\ & =\left(a^2+b^2+c^2\right)(a b+b c+c a)-a b c(c+a+b)\end{aligned} ={(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)=\left\{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^2-2(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})\right\}(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}) −abc(a+b+c)-a b c(a+b+c) =(32−2⋅2)⋅2−1⋅3=(9−4)⋅2−3=5⋅2−3=10−3=7\begin{aligned} & =\left(3^2-2 \cdot 2\right) \cdot 2-1 \cdot 3 \\ & =(9-4) \cdot 2-3=5 \cdot 2-3=10-3=7\end{aligned} নির্ণেয় ∑a3b=7\sum a^3 b=7.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাRajshahi
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন