Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল [গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, দেখাও যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : x=(a+bω+cω2),y=(a+bω2+cω)x=\left(a+b \omega+c \omega^{2}\right), \quad y=\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right) উদ্দীপক-২ : 7+i8=(p+iq)37+i 8=(p+i q)^{3}

Dhaka · 2023

উত্তর

L.H.S=(1+ω+3ω)6L.H.S=\left(1+\omega+\frac{3}{\omega}\right)^{6} =(ω+ω2+3ω)6=\left(\frac{\omega+\omega^{2}+3}{\omega}\right)^{6} =(1+ω+ω2+2ω)6=\left(\frac{1+\omega+\omega^{2}+2}{\omega}\right)^{6} =(2ω)6=\left(\frac{2}{\omega}\right)^{6} =64(ω3)2=\frac{64}{\left(\omega^{3}\right)^{2}} =6412=\frac{64}{1^{2}} =64= R.H.S=64=\text{ R.H.S} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, x=a+bω+cω2,y=a+bω2+cωx=a+b \omega+c \omega^{2}, \quad y=a+b \omega^{2}+c \omega ∴x3+y3=0\therefore x^{3}+y^{3}=0 ⇒(x+y)(x2−xy+y2)=0\Rightarrow(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)=0 ⇒(x+y){x2+(−1)xy+y2.1)=0\Rightarrow(x+y)\left\{x^{2}+(-1) x y+y^{2}.1\right)=0 ⇒(x+y){x2+(ω+ω2)xy+y2ω3}=0\Rightarrow(x+y)\left\{x^{2}+\left(\omega+\omega^{2}\right) x y+y^{2} \omega^{3}\right\}=0 ⇒(x+y)(x2+ωxy+ω2xy+y2ω3)=0\Rightarrow(x+y)\left(x^{2}+\omega x y+\omega^{2} x y+y^{2} \omega^{3}\right)=0 ⇒(x+y){x(x+yω)+ω2y(x+yω)}=0\Rightarrow(x+y)\left\{x(x+y \omega)+\omega^{2} y(x+y \omega)\right\}=0 ⇒(x+y)(x+yω)(x+ω2y)=0\Rightarrow(x+y)(x+y \omega)\left(x+\omega^{2} y\right)=0 ∴x+ω2y=0\therefore x+\omega^{2} y=0 ⇒a+bω+cω2+ω2(a+bω2+cω)=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+\omega^{2}\left(a+b \omega^{2}+c \omega\right)=0 ⇒a+bω+cω2+aω2+bω4+cω3=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega^{2}+b \omega^{4}+c \omega^{3}=0 ⇒a+bω+cω2+aω2+bω+c=0\Rightarrow a+b \omega+c \omega^{2}+a \omega^{2}+b \omega+c=0 ⇒a(1+ω2)+2bω+c(ω2+1)=0\Rightarrow a\left(1+\omega^{2}\right)+2 b \omega+c\left(\omega^{2}+1\right)=0 ⇒−aω+2bω−Cω=0\Rightarrow-a \omega+2 b \omega-C \omega=0 ⇒−ω(a−2b+c)=0\Rightarrow-\omega(a-2 b+c)=0 ⇒a+c−2b=0\Rightarrow a+c-2 b=0 ⇒2b=c+a\Rightarrow 2 b=c+a ∴b=12(c+a)\therefore b=\frac{1}{2}(c+a) (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, 7+i8=(p+iq)37+i 8 =(p+i q)^{3} =p3+3p2⋅iq+3p⋅i2q2+i3q3=p^{3}+3 p^{2} \cdot i q+3 p \cdot i^{2} q^{2}+i^{3} q^{3} =p3+3p2qi−3pq2−iq3=p^{3}+3 p^{2} q i-3 p q^{2}-i q^{3} ∴7+i8=(p3−3pq2)+i(3p2q−q3)\therefore 7+i 8 =\left(p^{3}-3 p q^{2}\right)+i\left(3 p^{2} q-q^{3}\right) বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, p3−3pq2=7\mathrm{p}^{3}-3 \mathrm{pq}^{2}=7 ⇒p(p2−3q2)=7\Rightarrow \mathrm{p}\left(\mathrm{p}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}\right)=7 ⇒p2−3q2=7p\Rightarrow \mathrm{p}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}=\frac{7}{\mathrm{p}} ⇒P2−3q24=74p⋯(1)\Rightarrow \frac{\mathrm{P}^{2}-3 \mathrm{q}^{2}}{4}=\frac{7}{4 \mathrm{p}} \cdots(1) এবং 3p2q−q3=83 \mathrm{p}^{2} \mathrm{q}-\mathrm{q}^{3}=8 ⇒q(3p2−q2)=8\Rightarrow \mathrm{q}\left(3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}\right)=8 ⇒3p2−q2=8q\Rightarrow 3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}=\frac{8}{\mathrm{q}} ⇒3p2−q24=2q…(ii)\Rightarrow \frac{3 \mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}}{4}=\frac{2}{\mathrm{q}} \ldots (ii) এখন, (i) + (ii) p2−3q24+3p2−q24=74p+2q\frac{p^{2}-3 q^{2}}{4}+\frac{3 p^{2}-q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ⇒p2−3q2+3p2−q24=74p+2q\Rightarrow \frac{p^{2}-3 q^{2}+3 p^{2}-q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ⇒4p2−4q24=74p+2q\Rightarrow \frac{4 p^{2}-4 q^{2}}{4}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} ∴p2−q2=74p+2q\therefore p^{2}-q^{2}=\frac{7}{4 p}+\frac{2}{q} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন