Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] উভয় পক্ষ হতে, বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে, দেখাও যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপকে: z = x + iy.

Dhaka · 2022

উত্তর

ধরি, z=−1+3iz=-1+\sqrt{3} i  মডুলাস, ∣z∣=(−1)2+(3)2=1+3=4=2\begin{aligned}\text{ মডুলাস, }|z| & =\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}} \\& =\sqrt{1+3} \\& =\sqrt{4}=2\end{aligned} আর্গুমেন্ট, arg⁡(z)=θ\arg (z)=\theta question image =π−θ′=π−tan⁡−1∣3−1∣=π−tan⁡−1(3)=π−π3=2π3\begin{aligned}& =\pi-\theta^{\prime} \\& =\pi-\tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right| \\& =\pi-\tan^{-1}(\sqrt{3}) \\& =\pi-\frac{\pi}{3} \\& =\frac{2 \pi}{3}\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iy∴zˉ=x−iyz=x+i y \therefore \bar{z}=x-i y p+iq3=z⇒(p+iq)1/3=x+iy⇒{(p+iq)1/3}3=(x+iy)3⇒p+iq=x3+3x2⋅iy+3x⋅(iy)2+(iy)3⇒p+iq=x3+3x2yi−3xy2−iy3[∵i2=−1]⇒p+iq=(x3−3xy2)+i(3x2y−y3)\begin{aligned}& \sqrt[3]{p+i q}=z \Rightarrow & (p+i q)^{1 / 3}=x+i y \Rightarrow & \left\{(p+i q)^{1 / 3}\right\}^{3}=(x+i y)^{3} \Rightarrow & p+i q=x^{3}+3 x^{2} \cdot i y+3 x \cdot(i y)^{2}+(i y)^{3} \Rightarrow & p+i q=x^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}-i y^{3}\left[\because i^{2}=-1\right] \Rightarrow & p+i q=\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)\end{aligned} উভয় পক্ষ হতে, বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সহগ সমীকৃত করে পাই, p=x3−3xy2 এবং q=3x2y−y3 এখन, p−iq=x3−3xy2−i(3x2y−y3)=x3−3xy2−3x2yi+iy3=x3−3x2⋅iy+3x⋅i2y2−(iy)3=(x−iy)3⇒p−iq3=x−iy∴p−iq3=Zˉ (দেখানো হলো )\begin{aligned}& p=x^{3}-3 x y^{2} \text{ এবং } q=3 x^{2} y-y^{3} \\& \text{ এখन, } \quad p-i q=x^{3}-3 x y^{2}-i\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) \\& =x^{3}-3 x y^{2}-3 x^{2} y i+i y^{3} \\& =x^{3}-3 x^{2} \cdot i y+3 x \cdot i^{2} y^{2}-(i y)^{3} \\& =(x-i y)^{3} \\ & \Rightarrow \sqrt[3]{p-i q}=x-i y \\& \quad \therefore \sqrt[3]{p-i q}=\bar{Z} \text{ (দেখানো হলো })\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iyz=x+i y 3∣z−1∣=2∣z−2∣⇒3∣x+iy−1∣=2∣x+iy−2∣⇒3∣(x−1)+iy∣=2∣(x−2)+iy∣⇒3(x−1)2+y2=2(x−2)2+y2[:∣z∣=x2+y2]⇒9(x2−2x+1+y2)=4(x2−4x+4+y2)⇒9x2−18x+9+9y2=4x2−16x+16+4y2⇒5x2+5y2−2x−7=0⇒5(x2+y2)−2x−7=0⇒x2+y2−25x−75=0∴x2+y2−2⋅15⋅x−75=0\begin{aligned}& 3|z-1|=2|z-2| \Rightarrow & 3|x+i y-1|=2|x+i y-2| \Rightarrow & 3|(x-1)+i y|=2|(x-2)+i y| \Rightarrow & 3 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=2 \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}\left[:|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] \Rightarrow & 9\left(x^{2}-2 x+1+y^{2}\right)=4\left(x^{2}-4 x+4+y^{2}\right) \Rightarrow & 9 x^{2}-18 x+9+9 y^{2}=4 x^{2}-16 x+16+4 y^{2} \Rightarrow & 5 x^{2}+5 y^{2}-2 x-7=0 \Rightarrow & 5\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x-7=0 \Rightarrow & x^{2}+y^{2}-\frac{2}{5} x-\frac{7}{5}=0 \\ \therefore & x^{2}+y^{2}-2 \cdot \frac{1}{5} \cdot x-\frac{7}{5}=0\end{aligned} এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ। নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, x2+y2−2⋅15⋅x−75=0x^{2}+y^{2}-2 \cdot \frac{1}{5} \cdot x-\frac{7}{5}=0
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন