Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] লব ও হরকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে] [গণিত] আবার, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] বামপক্ষ = ডানপক্ষ [গণিত] . (দেখানো হলো )

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, .

উদ্দীপক

z1=1+ia,z2=a+i\mathrm{z}_{1}=1+\mathrm{ia}, \mathrm{z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{i} এবং ∣z+2∣+∣z−2∣=6,z=x+iy|\mathrm{z}+2|+|\mathrm{z}-2|=6, \mathrm{z}=x+i y একটি কণিক।

Barisal · 2022

উত্তর

এখানে, −1=i2[∵i2=−1]\sqrt{-1}=\sqrt{\mathrm{i}^{2}}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =i=\mathrm{i} −1\sqrt{-1} বा i\mathrm{i} এর বর্গমূল =i=\sqrt{\mathrm{i}} =12×2i=12(1−1+2i)=12(12+2i+i2)=12(1+i)2=±12(1+i)\begin{aligned}& =\sqrt{\frac{1}{2} \times 2 i} \\& =\sqrt{\frac{1}{2}(1-1+2 i)} \\& =\sqrt{\frac{1}{2}\left(1^{2}+2 i+i^{2}\right)} \\& =\sqrt{\frac{1}{2}(1+i)^{2}}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\end{aligned} নির্ণেয় বর্গমূল =±12(1+i)= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+\mathrm{i})

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=1+ia,z2=a+i\mathrm{z}_{1}=1+\mathrm{ia}, \mathrm{z}_{2}=\mathrm{a}+\mathrm{i} a=3\mathrm{a}=\sqrt{3} হলে, z1=1+3i\mathrm{z}_{1}=1+\sqrt{3} \mathrm{i} এবং z2=3+i\mathrm{z}_{2}=\sqrt{3}+\mathrm{i} এখন, z1z2=1+3i3+i\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}=\frac{1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}} =(1+3i)(3−i)(3+i)(3−i)∣=\frac{(1+\sqrt{3} \mathrm{i})(\sqrt{3}-\mathrm{i})}{(\sqrt{3}+\mathrm{i})(\sqrt{3}-\mathrm{i})} \mid লব ও হরকে (3−i)(\sqrt{3}-\mathrm{i}) দ্বারা গুণ করে] ∴=3−i+3i−3i2(3)2−i2\therefore=\frac{\sqrt{3}-\mathrm{i}+3 \mathrm{i}-\sqrt{3} \mathrm{i}^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-\mathrm{i}^{2}} =(3+3)+2i3+1[∵i2=−1]=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{3})+2 \mathrm{i}}{3+1}\left[\because \mathrm{i}^{2}=-1\right] =23+2i4=32+12i=\frac{2 \sqrt{3}+2 \mathrm{i}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i} আবার, arg⁡(z1)=arg⁡(1+3i)\arg \left(\mathrm{z}_{1}\right)=\arg (1+\sqrt{3} \mathrm{i}) =tan⁡−1(31)=π3 এবং arg⁡(z2)=arg⁡(3+i)=tan⁡−1(13)=π6\begin{aligned}& =\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\frac{\pi}{3} \text{ এবং } \arg \left(\mathrm{z}_{2}\right) & =\arg (\sqrt{3}+\mathrm{i}) \\& =\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\end{aligned} বামপক্ষ =arg⁡(z1z2)=\arg \left(\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}\right) =arg⁡(32+12i)=\arg \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right) =tan⁡−1(1232)=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) =tan⁡−1(12×23)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}}\right) =tan⁡−1(13)=π6=\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} ডানপক্ষ =arg⁡(z1)−arg⁡(z2)=\arg \left(\mathrm{z}_{1}\right)-\arg \left(\mathrm{z}_{2}\right) =π3−π6=6π−3π18=3π18=π6=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{6 \pi-3 \pi}{18}=\frac{3 \pi}{18}=\frac{\pi}{6} বামপক্ষ = ডানপক্ষ ∴arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)−arg⁡(z2).\therefore \arg \left(\frac{\mathrm{z}_{1}}{\mathrm{z}_{2}}\right)=\arg \left(\mathrm{z}_{1}\right)-\arg \left(\mathrm{z}_{2}\right) .. (দেখানো হলো )

উত্তর

দেওয়া আছে, ∣z+2∣+∣z−2∣=6|z+2|+|z-2|=6 বা, ∣x+iy+2∣+∣x+iy−2∣=6[∵z=x+iy]|x+i y+2|+|x+i y-2|=6[\because z=x+i y] বা, (x+2)2+y2+(x−2)2+y2=6\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=6. বা, (x+2)2+y2=6−(x−2)2+y2\sqrt{(\mathrm{x}+2)^{2}+\mathrm{y}^{2}}=6-\sqrt{(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}} বা, (x+2)2+y2=62+(x−2)2+y2−2⋅6⋅(x−2)2+y2(\mathrm{x}+2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=6^{2}+(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \cdot 6 \cdot \sqrt{(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}} [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, x2+4+4x+y2=36+x2+4−4x+y2−12x2+4−4x+y2x^{2}+4+4 x+y^{2}=36+x^{2}+4-4 x+y^{2}-12 \sqrt{x^{2}+4-4 x+y^{2}} বা, 4x+4x−36=−12x2+y2−4x+44 \mathrm{x}+4 \mathrm{x}-36=-12 \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-4 \mathrm{x}+4} বা, 8x−36=−12x2+y2−4x+48 x-36=-12 \sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x+4} বা, 2x−9=−3x2+y2−4x+42 x-9=-3 \sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x+4} বা, (2x−9)2=x(−3x2+y2−4x+4)2(2 x-9)^{2}=x\left(-3 \sqrt{x^{2}+y^{2}-4 x+4}\right)^{2} [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, 4x2+81−36x=9(x2+y2−4x+4)4 x^{2}+81-36 x=9\left(x^{2}+y^{2}-4 x+4\right) বা, 9x2+9y2−36x+36−4x2+36x−81=09 x^{2}+9 y^{2}-36 x+36-4 x^{2}+36 x-81=0 বা, 5x2+9y2=455 x^{2}+9 y^{2}=45 বा, 5x245+9y245=1\frac{5 x^{2}}{45}+\frac{9 y^{2}}{45}=1 [উভয়পকককে 45 দ্বারা ভাগ করে] বা, x29+y25=1\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1 বা, x232+y2(5)2=1\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{(\sqrt{5})^{2}}=1 (1) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। (1) নং কে উবৃত্তের প্রমিক সমীকরণ x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 এর সাথে তুলনা করে পাই, a=3\mathrm{a}=3 এবং b=5\mathrm{b}=\sqrt{5} এখানে, a > b, সুতরাং বৃহদাক্ষ X-অক্ষ বরাবর। ∴\therefore উপবৃত্তটির বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য =2a=2×3=6=2 \mathrm{a}=2 \times 3=6 একক ∴\therefore উপবৃত্তটির ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য =2 b=2×5=25=2 \mathrm{~b}=2 \times \sqrt{5}=2 \sqrt{5} একক।
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যাBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন