Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] [ঘन করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . i. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

M=x−i3,y=(p+iq)13M=x-i^3, y=(p+i q)^{\frac{1}{3}}

চট্টগ্রাম কলেজ · 2025

উত্তর

ক দেওয়া আছে, i−49+x=0\mathrm{i}^{-49}+\mathrm{x}=0 বা, 1i49+x=0\frac{1}{\mathrm{i}^{49}}+\mathrm{x}=0 বা, 1i4×12⋅i+x=0\frac{1}{\mathrm{i}^{4 \times 12} \cdot \mathrm{i}}+\mathrm{x}=0 বা, 1i+x=0[∵i4n=1]\frac{1}{i}+x=0 \quad\left[\because i^{4 n}=1\right] বা, ii2+x=0\frac{i}{\mathrm{i}^2}+\mathrm{x}=0 বা, i−1+x=0\frac{i}{-1}+x=0 বা, −i+x=0-i+x=0 ∴x=i\therefore \quad \mathrm{x}=\mathrm{i} প্রদত্ত রাশি =x3+2x2+x+2=x^3+2 x^2+x+2 =i3+2i2+i+2=i2⋅i+2i2+i+2=−i−2+i+2[∵i2=−1]=0\begin{aligned} & =i^3+2 i^2+i+2=i^2 \cdot i+2 i^2+i+2 \\ & =-i-2+i+2\left[\because i^2=-1\right] \\ & =0\end{aligned} নির্ণেয় মান : 0 .

উত্তর

দেওয়া আছে, M=x−i3yM=x-i^3 y বা, M=x−i.i2,yM=x-i . i^2, y বা, M=x−i(−1)⋅y[∵i2=−1]M=x-i(-1) \cdot y \quad\left[\because i^2=-1\right] ∴M=x+iy\therefore \quad \mathrm{M}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখন, ∣M+6∣+∣M−6∣=20|M+6|+|M-6|=20 বা, ∣x+iy+6∣+∣x+iy−6∣=20|x+i y+6|+|x+i y-6|=20 বা, ∣(x+6)+iy∣+∣(x−6)+iy∣=20|(x+6)+i y|+|(x-6)+i y|=20 বা, (x+6)2+y2+(x−6)2+y2=20\sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{(x-6)^2+y^2}=20 বা, (x+6)2+y2=20−(x−6)2+y2\sqrt{(x+6)^2+y^2}=20-\sqrt{(x-6)^2+y^2} বা, {(x+6)2+y2}2={20−(x−6)2+y2}2\left\{\sqrt{(x+6)^2+y^2}\right\}^2=\left\{20-\sqrt{(x-6)^2+y^2}\right\}^2 [বর্গ করে] বা, (x+6)2+y2=(20)2−2×20×(x−6)2+y2(x+6)^2+y^2=(20)^2-2 \times 20 \times \sqrt{(x-6)^2+y^2} +{(x−6)2+y2}2+\left\{\sqrt{(x-6)^2+y^2}\right\}^2 বা, (x+6)2+y2=400−40(x−6)2+y2+(x−6)2+y2(x+6)^2+y^2=400-40 \sqrt{(x-6)^2+y^2}+(x-6)^2+y^2 বা, x2+12x+36+y2=400−40x2−12x+36+y2x^2+12 x+36+y^2=400-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} +x2−12x+36+y2+x^2-12 x+36+y^2 বা, x2+12x+36+y2−400−x2+12x−36−y2x^2+12 x+36+y^2-400-x^2+12 x-36-y^2 =−40x2−12x+36+y2=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 24x−400=−40x2−12x+36+y224 x-400=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 8(3x−50)=−40x2−12x+36+y28(3 x-50)=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 3x−50=−5x2−12x+36+y23 x-50=-5 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, (3x−50)2=(−5x2−12x+36+y2)2(3 x-50)^2=\left(-5 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2}\right)^2 [বর্গ করে] বা, 9x2−300x+2500=25(x2−12x+36+y2)9 x^2-300 x+2500=25\left(x^2-12 x+36+y^2\right) বা, 9x2−300x0+2500=25x2−300x+900+25y29 x^2-300 x_0+2500=25 x^2-300 x+900+25 y^2 বা, 25x2−9x2+25y2−300x+300x=2500−90025 x^2-9 x^2+25 y^2-300 x+300 x=2500-900 ∴16x2+25y2=1600\therefore \quad 16 x^2+25 y^2=1600 নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ 16x2+25y2=160016 x^2+25 y^2=1600.

উত্তর

দেওয়া আছে, M=x−i3y=(p+iq)13M=x-i^3 y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} বা, M=x+iy=(p+iq)13M=x+i y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} এখন, x+iy=(p+iq)13x+i y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} বা, (x+iy)3=p+iq(x+i y)^3=p+i q [ঘन করে] বা, x3+3⋅x2⋅iy+3⋅x⋅(iy)2+(iy)3=p+iqx^3+3 \cdot x^2 \cdot i y+3 \cdot x \cdot(i y)^2+(i y)^3=p+i q বা, x3+3ix2y+3x.i2⋅y2+i3y3=p+iqx^3+3 i x^2 y+3 x . i^2 \cdot y^2+i^3 y^3=p+i q বা, x3+3ix2y+3x(−1)y2+i2\mathrm{x}^3+3 i \mathrm{x}^2 \mathrm{y}+3 \mathrm{x}(-1) \mathrm{y}^2+\mathrm{i}^2. i. y3=p+iq[∵i2=−1]\mathrm{y}^3=\mathrm{p}+\mathrm{iq}\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] বা, x3+3ix2y−3xy2−iy3=p+iqx^3+3 i x^2 y-3 x y^2-i y^3=p+i q বা, (x3−3xy2)+i(3x2y−y3)=p+iq\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=p+i q এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, p=x3−3xy2=x(x2−3y2)p=x^3-3 x y^2=x\left(x^2-3 y^2\right) এবং q=3x2y2−y3=y(3x2−y2)q=3 x^2 y^2-y^3=y\left(3 x^2-y^2\right) বামপক্ষ =p2x−q2y=x(x2−3y2)2x−y(3x2−y2)2y=\sqrt{\frac{p}{2 x}-\frac{q}{2 y}}=\sqrt{\frac{x\left(x^2-3 y^2\right)}{2 x}-\frac{y\left(3 x^2-y^2\right)}{2 y}} =x2−3y22−3x2−y22=x2−3y2−3x2+y22=−2x2−2y22=−2(x2+y2)2\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{x^2-3 y^2}{2}-\frac{3 x^2-y^2}{2}}=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2-3 x^2+y^2}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{-2 x^2-2 y^2}{2}}=\sqrt{\frac{-2\left(x^2+y^2\right)}{2}}\end{aligned} =−(x2+y2)=i2(x2+y2)=ix2+y2==\sqrt{-\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{i^2\left(x^2+y^2\right)}=i \sqrt{x^2+y^2}= ডানপক্ষ ∴p2x−q2y=ix2+y2\therefore \sqrt{\frac{p}{2 x}-\frac{q}{2 y}}=i \sqrt{x^2+y^2} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন