Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা -1, যখন n এর মান যথাক্রমে ও দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে , [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একেত্রে বামপক্ষ [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] এক্ষেত্রে বামপক্ষ [গণিত] আবার, [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] . এক্ষেত্রে বামপক্ষ [গণিত] অতএব, [গণিত] অথবা, -1 যখন n এর মান যথাক্রমে 3 -দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, অথবা -1, যখন n এর মান যথাক্রমে ও দ্বারা বিভাজ্য অথবা…

উদ্দীপক

z1=−12+32i+z2=a+ibz_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i+z_2=a+i b এবং z3=1+ix;z_3=1+i x ; যেখানে a,b,x∈Ra, b, x \in R.

নটরডেম কলেজ · 2025

উত্তর

7−30−2=7−302i=7−2.5⋅32i=25−2.5⋅32i−18=52−2.5(32i)+(32i)2[∵i2=−1]=(5−32i)2\begin{aligned} 7-30 \sqrt{-2} & =7-30 \sqrt{2} i=7-2.5 \cdot 3 \sqrt{2} i \\ & =25-2.5 \cdot 3 \sqrt{2} i-18 \\ & =5^2-2.5(3 \sqrt{2} i)+(3 \sqrt{2} i)^2\left[\because i^2=-1\right] \\ & =(5-3 \sqrt{2} i)^2\end{aligned} ∴7−30−2=±(5−32i)\therefore \sqrt{7-30 \sqrt{-2}}= \pm(5-3 \sqrt{2} i) নির্ণেয় বর্গমূল ±(5−32i)\pm(5-3 \sqrt{2} i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z2=a+ib∴z2‾=a−ibz_2=a+i b \quad \therefore \overline{z_2}=a-i b z3=1+ix∴zˉ3=1−ixz_3=1+i x \therefore \bar{z}_3=1-i x এবং a2+b2=1a^2+b^2=1 এখন, zˉ3z3=z2‾\frac{\bar{z}_3}{z_3}=\overline{z_2} বা, 1−ix1+ix=a−ib\frac{1-i x}{1+i x}=a-i b বা, 1+ix1−ix=1a−ib\frac{1+i x}{1-i x}=\frac{1}{a-i b} [বিপরীতকরণ করে] বা, 1+ix−1+ix1+ix+1−ix=1−a+ib1+a−ib\frac{1+i x-1+i x}{1+i x+1-i x}=\frac{1-a+i b}{1+a-i b} [বিয়োজন-যোজন করে] বা, \frac{2 i x}{2}=\frac{(1-a+i b)(1+a+i b)}{(1+a-i b}(1+a+i b)} বা, i x=\frac{(1+i b-a)(1+i b+a)}{(1+a}^2-(i b)^2} =(1+ib)2−a21+2a+a2−i2b2=1+2ib+i2b2−a21+2a+a2+b2[∵i2=−1]=1+2ib−(a2+b2)1+2a+a2+b2=1+2ib−11+2a+1[∵a2+b2=1]\begin{aligned} & =\frac{(1+i b)^2-a^2}{1+2 a+a^2-i^2 b^2}=\frac{1+2 i b+i^2 b^2-a^2}{1+2 a+a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+2 i b-\left(a^2+b^2\right)}{1+2 a+a^2+b^2}=\frac{1+2 i b-1}{1+2 a+1}\left[\because a^2+b^2=1\right]\end{aligned} বा. ix=2ib2(1+a)=ib1+ai x=\frac{2 i b}{2(1+a)}=\frac{i b}{1+a} ∴x=b1+a;\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{1+\mathrm{a}} ; যা x এর একটি বাস্তব মান এবং এটি zˉ3z3=z2‾\frac{\bar{z}_3}{\mathrm{z}_3}=\overline{\mathrm{z}_2} সমীকরণকে সিদ্ধ করে। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে , z1=−12+3i2=−1+3i2=ωz_1=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3} i}{2}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}=\omega ∴z1‾=−1−3i2=ω2\therefore \quad \overline{z_1}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}=\omega^2 বামপক্ষ =(zi)n+(z1‾)n=ωn−(ω2)n=ωn+ω2n=\left(z_i\right)^n+\left(\overline{z_1}\right)^n=\omega^n-\left(\omega^2\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3 mn=3 \mathrm{~m}, যেখানে m∈Zm \in \mathbb{Z} একেত্রে বামপক্ষ =ω3m+ω2.3m=\omega^{3 m}+\omega^{2.3 m} =(ω3)m+(ω6)m=1m+1m[∵ω3=1]=1+1=2\begin{aligned} & =\left(\omega^3\right)^m+\left(\omega^6\right)^m \\ & =1^m+1^m\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1+1=2\end{aligned} n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3m+1n=3 m+1 এক্ষেত্রে বামপক্ষ =ω3m+1+ω2⋅(3m+1)=\omega^{3 m+1}+\omega^{2 \cdot(3 m+1)} =ω3m⋅ω1+ω6m⋅ω2=(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=1m⋅ω+12m⋅ω2[∵ω3=1]=1⋅ω+1⋅ω2=ω+ω2=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =\omega^{3 m} \cdot \omega^1+\omega^{6 m} \cdot \omega^2 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 \\ & =1^m \cdot \omega+1^{2 m} \cdot \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1 \cdot \omega+1 \cdot \omega^2 \\ & =\omega+\omega^2 \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} আবার, n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3m+2n = 3m + 2. এক্ষেত্রে বামপক্ষ =ω3m+2+ω2(3m+2)=\omega^{3 m+2}+\omega^{2(3 m+2)} =ω3m⋅ω2+ω6m⋅ω4=(ω3)m⋅ω2+(ω3)2m⋅ω3⋅ω=1m⋅ω2+12m⋅1⋅ω[∵ω3=1]=1⋅ω2+1⋅1⋅ω=ω2+ω=−1\begin{aligned} & =\omega^{3 m} \cdot \omega^2+\omega^{6 m} \cdot \omega^4 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^3 \cdot \omega \\ & =1^m \cdot \omega^2+1^{2 m} \cdot 1 \cdot \omega\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1 \cdot \omega^2+1 \cdot 1 \cdot \omega=\omega^2+\omega=-1\end{aligned} অতএব, (z1)n+(zˉ1)n=2\left(z_1\right)^n+\left(\bar{z}_1\right)^n=2 অথবা, -1 যখন n এর মান যথাক্রমে 3 -দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন