Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : B=(p+qω+rω2)3+(p+qω2+rω)3B=\left(p+q \omega+r \omega^2\right)^3+\left(p+q \omega^2+r \omega\right)^3. দৃশ্যকল্প-২ : arg⁡(p−5p+2)=π2\arg \left(\frac{p-5}{p+2}\right)=\frac{\pi}{2}.

Rajshahi · 2025

উত্তর

মনে করি, x+iy=−2+2ix+i y=-2+2 i ∴x=−2\therefore \quad x=-2 এবং y=2y=2 −2+2i-2+2 \mathrm{i} এর মডুলাস=x2+y2=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2} =(−2)2+(2)2=4+4=8=22=\sqrt{(-2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} (−2,2)(- 2, 2) বিন্দুটি দ্রিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত । ∴−2+2i\therefore-2+2 i এর আর্গুমেন্ট =π−tan⁡−1∣yx∣=π−tan⁡−1∣2−2∣=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{2}{-2}\right| =π−tan⁡−1∣−1∣=π−tan⁡−1(1)=π−π4=3π4\begin{aligned} & =\pi-\tan^{-1}|-1| \\ & =\pi-\tan^{-1}(1)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4}\end{aligned} নির্ণেয় মডুলাস 222 \sqrt{2} এবং আর্গুমেন্ট 3π4\frac{3 \pi}{4}.

উত্তর

[বি.দ্র.: প্রশ্নে p+q+r=0p+q+r=0 এর পরিবর্তে p+q+r=1p+q+r=1 হবে] দেওয়া আছে, B=(p+qω+rω2)3+(p+qω2+rω)3\mathrm{B}=\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega+\mathrm{r} \omega^2\right)^3+\left(\mathrm{p}+\mathrm{q} \omega^2+\mathrm{r} \omega\right)^3 এবং p+q+r=1\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}=1 ধরি, p+qω+rω2=xp+q \omega+r \omega^2=x এবং p+qω2+rω=yp+q \omega^2+r \omega=y ∴B=x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){x2+xy(ω+ω2)+y2ω3}\begin{aligned} \therefore \quad B & =x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right) \\ & =(x+y)\left\{x^2+x y\left(\omega+\omega^2\right)+y^2 \omega^3\right\}\end{aligned} [∵1+ω+ω2=0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right. এবং ω3=1]\left.\omega^3=1\right] =(x+y)(x2+xyω+xyω2+y2ω3)=(x+y){x(x+yω)+yω2(x+yω)}=(x+y)(x+yω)(x+yω2)=(p+qω+rω2+p+qω2+rω){p+qω+rω2+ω(p+qω2+rω)}{p+qω+rω2+ω2(p+qω2+rω)}=(2p+qω+qω2+rω+rω2)(p+qω+rω2+pω+q+rω2)(p+qω+rω2+pω2+qω+r)[∵ω3=1]={2p+q(ω+ω2)+r(ω+ω2)}{p(1+ω)+q(1+ω)+2rω2}{p(1+ω2)+2qω+r(1+ω2)}=(2p−q−r)(−pω2−qω2+2rω2)(−pω+2qω−rω)[∵1+ω+ω2=0]=(2p−q−r)⋅ω2(2r−p−q)⋅ω(2q−r−p)=ω3(2p−q−r)(2r−p−q)(2q−r−p)=(2p−q−r)(2q−r−p)(2r−p−q)[∵ω3=1]=(3p−p−q−r)(3q−p−q−r)(3r−p−q−r)={3p−(p+q+r)}{3q−(p+q+r)}{3r−(p+q+r)}=(3p−1)(3q−1)(3r−1)[∵p+q+r=1]\begin{aligned}= & (x+y)\left(x^2+x y \omega+x y \omega^2+y^2 \omega^3\right) \\ = & (x+y)\left\{x(x+y \omega)+y \omega^2(x+y \omega)\right\} \\ = & (x+y)(x+y \omega)\left(x+y \omega^2\right) \\ = & \left(p+q \omega+r \omega^2+p+q \omega^2+r \omega\right)\left\{p+q \omega+r \omega^2+\right. \\ & \left.\quad \omega\left(p+q \omega^2+r \omega\right)\right\}\left\{p+q \omega+r \omega^2+\omega^2\left(p+q \omega^2+r \omega\right)\right\} \\ = & \left(2 p+q \omega+q \omega^2+r \omega+r \omega^2\right)\left(p+q \omega+r \omega^2+p \omega+q+r \omega^2\right) \\ & \quad\left(p+q \omega+r \omega^2+p \omega^2+q \omega+r\right)\left[\because \omega^3=1\right] \\ = & \left\{2 p+q\left(\omega+\omega^2\right)+r\left(\omega+\omega^2\right)\right\}\{p(1+\omega) \\ & \left.\quad+q(1+\omega)+2 r \omega^2\right\}\left\{p\left(1+\omega^2\right)+2 q \omega+r\left(1+\omega^2\right)\right\} \\ = & (2 p-q-r)\left(-p \omega^2-q \omega^2+2 r \omega^2\right)(-p \omega+2 q \omega-r \omega) \\ & \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ = & (2 p-q-r) \cdot \omega^2(2 r-p-q) \cdot \omega(2 q-r-p) \\ = & \omega^3(2 p-q-r)(2 r-p-q)(2 q-r-p) \\ = & (2 p-q-r)(2 q-r-p)(2 r-p-q)\left[\because \omega^3=1\right] \\ = & (3 p-p-q-r)(3 q-p-q-r)(3 r-p-q-r) \\ = & \{3 p-(p+q+r)\}\{3 q-(p+q+r)\}\{3 r-(p+q+r)\} \\ = & (3 p-1)(3 q-1)(3 r-1)[\because p+q+r=1]\end{aligned} ∴B=(3p−1)(3q−1)(3r−1)\therefore \quad B=(3 p-1)(3 q-1)(3 r-1). (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, arg⁡(p−5p+2)=π2\arg \left(\frac{p-5}{p+2}\right)=\frac{\pi}{2} p=x+iyp=x+i y হলে, arg⁡(x+iy−5x+iy+2)=π2\arg \left(\frac{x+i y-5}{x+i y+2}\right)=\frac{\pi}{2} বা, arg⁡(x+iy−5)−arg⁡(x+iy+2)=π2[∵arg⁡(z1z2)=arg⁡z1−arg⁡z2]\arg (x+i y-5)-\arg (x+i y+2)=\frac{\pi}{2}\left[\because \arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2\right] বা, arg⁡(x−5+iy)−arg⁡(x+2+iy)=π2\quad \arg (x-5+i y)-\arg (x+2+i y)=\frac{\pi}{2} বা, tan⁡−1yx−5−tan⁡−1yx+2=π2\tan^{-1} \frac{y}{x-5}-\tan^{-1} \frac{y}{x+2}=\frac{\pi}{2} বা, tan⁡−1yx−5−yx+21+yx−5⋅yx+2=π2\tan^{-1} \frac{\frac{y}{x-5}-\frac{y}{x+2}}{1+\frac{y}{x-5} \cdot \frac{y}{x+2}}=\frac{\pi}{2} বা, \tan^{-1} \frac{\frac{x y+2 y-x y+5 y}{(x-5}(x+2)}}{\frac{(x-5)(x+2)+y^2}{(x-5}(x+2)}}=\frac{\pi}{2} বা, \frac{7 y}{(x-5}(x+2)} \times \frac{(x-5)(x+2)}{(x-5}(x+2)+y^2}=\tan \frac{\pi}{2} বা, \frac{7 y}{(x-5}(x+2)+y^2}=\frac{1}{0} বা, (x−5)(x+2)+y2=0(x-5)(x+2)+y^2=0 বা, y2=−(x−5)(x+2)y^2=-(x-5)(x+2) ∴y2=(5−x)(x+2)\therefore \quad \mathrm{y}^2=(5-\mathrm{x})(\mathrm{x}+2). (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন