Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ; যেখানে [গণিত] ও [গণিত] বাস্তব এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

উদ্দীপকে : z=x+iy;x,yz=x+i y ; x, y বাস্তব ।

বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ · 2025

উত্তর

−646\sqrt[6]{-64} ধরি, x=−646x=\sqrt[6]{-64} বা, x6=−64x^6=-64 বা, x6+64=0x^6+64=0 বা, (x2)3+(4)3=0\left(x^2\right)^3+(4)^3=0 বা, (x2+4){(x2)2−x2⋅4+42}=0\left(x^2+4\right)\left\{\left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 4+4^2\right\}=0 বা, (x2+4)(x4−4x2+16)=0\left(x^2+4\right)\left(x^4-4 x^2+16\right)=0 হয়, x2+4=0x^2+4=0 বা, x2=−4x^2=-4 বা, x2=(2i)2x^2=(2 i)^2 ∴x=±2i\therefore \quad \mathrm{x}= \pm 2 \mathrm{i} অথবা, x4−4x2+16=0x^4-4 x^2+16=0 ∴x2=−(−4)±(−4)2−4.1.162.1=4±16−642\therefore \quad x^2 =\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4.1 .16}}{2.1}=\frac{4 \pm \sqrt{16-64}}{2} =4±−482=4±43i2=\frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2}=\frac{4 \pm 4 \sqrt{3} i}{2} =2±23i=(3)2±23⋅i+i2=(3±i)2=2 \pm 2 \sqrt{3} i=(\sqrt{3})^2 \pm 2 \sqrt{3} \cdot i+i^2=(\sqrt{3} \pm i)^2 ∴x=±(3±i)\therefore \quad x = \pm(\sqrt{3} \pm i) নির্ণেয় মান : ±2i,±(3±i)\pm 2 \mathrm{i}, \pm(\sqrt{3} \pm \mathrm{i}).

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iy;x,yz=x+i y ; x, y বাস্তব এখন, z−iz−1=ib\frac{z-i}{z-1}=i b হলে, x+iy−ix+iy−1=ib\frac{x+i y-i}{x+i y-1}=i b বা, x+i(y−1)x−1+iy=ib\frac{x+i(y-1)}{x-1+i y}=i b বা, {x+i(y−1)}(x−1−iy)(x−1+iy)(x−1−iy)=ib\frac{\{x+i(y-1)\}(x-1-i y)}{(x-1+i y)(x-1-i y)}=i b বা, \frac{x^2-x-x i y+i y x-i y-i^2 y^2-i x+i+i^2 y}{(x-1}^2-(i y)^2} বা, \frac{\left(x^2-x+y^2-y\right)+i(-x-y+1)}{(x-1}^2-(i y)^2}= ib [∵i2=−1]\left[\because i^2=-1\right] বা, \frac{\left(x^2+y^2-x-y\right)+i(-x-y+1)}{(x-1}^2+y^2}=i b\left[\because i^2=-1\right] বা, \frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1}^2+y^2}+\frac{i(-x-y+1)}{(x-1}^2+y^2}=0+i b উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, \frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1}^2+y^2}=0 …..(i)\ldots.. (i) এবং \frac{-x-y+1}{(x-1}^2+y^2}=b (i) নং হতে পাই, \frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1}^2+y^2}=0 বা, x2+y2−x−y=0x^2+y^2-x-y=0 বা, x2−12⋅x⋅2+(12)2+y2−2⋅12⋅y+(12)2=14+14x^2-\frac{1}{2} \cdot x \cdot 2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot y+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} ∴(x−12)2+(y−12)2=12\therefore \quad\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}; যেখানে xx ও yy বাস্তব এখন, z=2e−iθz=2 e^{-i \theta} হলে, x+iy=2e−iθx+i y=2 e^{-i \theta} বা, x+iy=2(cos⁡θ−isin⁡θ)[∵e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ]x+i y=2(\cos \theta-i \sin \theta)\left[\because e^{-i \theta}=\cos \theta-i \sin \theta\right] বা, x+iy=2cos⁡θ−2isin⁡θx+i y=2 \cos \theta-2 i \sin \theta বা, ∣x+iy∣=∣2cos⁡θ−2isin⁡θ∣|x+i y|=|2 \cos \theta-2 i \sin \theta| বা, x2+y2=(2cos⁡θ)2+(−2sin⁡θ)2\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(2 \cos \theta)^2+(-2 \sin \theta)^2} বা, x2+y2=4cos⁡2θ+4sin⁡2θ\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4 \cos^2 \theta+4 \sin^2 \theta} বা, x2+y2=4cos⁡2θ+4sin⁡2θx^2+y^2=4 \cos^2 \theta+4 \sin^2 \theta [বর্গ করে] বা, x2+y2=4(sin⁡2θ+cos⁡2θ)x^2+y^2=4\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right) বা, x2+y2=4.1[∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1]x^2+y^2=4.1\left[\because \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\right] ∴x2+y2=4\therefore \quad \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন