Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] [ঘন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(i) এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(ii) বামপক্ষ [গণিত] [(1)নং ও (2)নং হতে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : z=x+iyz=x+i y.

Dhaka · 2025

উত্তর

\begin{aligned} \frac{i}{1+i} & =\frac{i(1-i)}{(1+i}(1-i)}=\frac{i-i^2}{1^2-i^2}=\frac{i+1}{1+1}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\end{aligned} ∴i1+i=12+i2\therefore \quad \frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2} এর মডুলাস =(12)2+(12)2=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} =14+14=1+14=24=12=12\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1+1}{4}} \\ & =\sqrt{\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned} নির্ণেয় মডুলাস 12\frac{1}{\sqrt{2}}.

উত্তর

দেওয়া আছে; z = x + iy এখন, ∣3z+1∣=∣z−3i∣|3 z+1|=|z-3 i| বা; ∣3(x+iy)+1∣=∣x+iy−3i∣|3(x+i y)+1|=|x+i y-3 i| বা, ∣3x+3iy+1∣=∣x+iy−3i∣|3 x+3 i y+1|=|x+i y-3 i| বা, ∣(3x+1)+i3y∣=∣x+i(y−3)∣|(3 x+1)+i 3 y|=|x+i(y-3)| বা, (3x+1)2+(3y)2=x2+(y−3)2\sqrt{(3 x+1)^2+(3 y)^2}=\sqrt{x^2+(y-3)^2} বা, (3x+1)2+(3y)2=x2+(y−3)2(3 x+1)^2+(3 y)^2=x^2+(y-3)^2 \quad [বর্গ করে] বা, 9x2+6x+1+9y2=x2+y˙2−6y+99 x^2+6 x+1+9 y^2=x^2+\dot{y}^2-6 y+9 বা, 9x2+6x+1+9y2−x2−y2+6y−9=09 x^2+6 x+1+9 y^2-x^2-y^2+6 y-9=0 বা, 8x2+8y2+6x+6y−8=08 x^2+8 y^2+6 x+6 y-8=0 বা, 8(x2+y2+34x+34y−1)=08\left(x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1\right)=0 ∴x2+y2+34x+34y−1=0;\therefore \quad x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1=0 ; যা একটি বৃত্তের সমীকরণ। নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, x2+y2+34x+34y−1=0x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1=0.

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখন, z=3+5i3z=\sqrt[3]{3+5 i} হলে, x+iy=3+5i3x+i y=\sqrt[3]{3+5 i} বা, (x+iy)3=3+5i(x+i y)^3=3+5 i [ঘন করে] বা, x3+3x2.iy+3x(iy)2+(iy)3=3+5ix^3+3 x^2 . i y+3 x(i y)^2+(i y)^3=3+5 i বা, x3+3ix2y−3xy2−iy3=3+5i[∵i2=−1x^3+3 i x^2 y-3 x y^2-i y^3=3+5 i\left[\because i^2=-1\right. এবং i3=−i]\left.i^3=-i\right] বা, (x3−3xy2)+i(3x2y−y3)=3+i5\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=3+i 5 উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, x3−3xy2=3x^3-3 x y^2=3 বা, x(x2−3y2)=3x\left(x^2-3 y^2\right)=3 বা, x2−3y2=3xx^2-3 y^2=\frac{3}{x} বা, x2−3y24=34x\frac{x^2-3 y^2}{4}=\frac{3}{4 x}……..(i)\ldots\ldots..(i) এবং 3x2y−y3=53 x^2 y-y^3=5 বা, y(3x2−y2)=5y\left(3 x^2-y^2\right)=5 বা, 3x2−y2=5y3 x^2-y^2=\frac{5}{y} বা, 3x2−y24=54y\frac{3 x^2-y^2}{4}=\frac{5}{4 y} ……..(ii)\ldots\ldots..(ii) বামপক্ষ =34x+54y=\sqrt{\frac{3}{4 x}+\frac{5}{4 y}} =x2−3y24+3x2−y24=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2}{4}+\frac{3 x^2-y^2}{4}} [(1)নং ও (2)নং হতে] =x2−3y2+3x2−y24=4x2−4y24=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2+3 x^2-y^2}{4}}=\sqrt{\frac{4 x^2-4 y^2}{4}} =4(x2−y2)4=x2−y2==\sqrt{\frac{4\left(x^2-y^2\right)}{4}}=\sqrt{x^2-y^2}= ডানপক্ষ ∴34x+54y=x2−y2\therefore \quad \sqrt{\frac{3}{4 x}+\frac{5}{4 y}}=\sqrt{x^2-y^2}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন