Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] এখন, (1)নং এ [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (1)নং [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, (1)নং এ, [গণিত] বসিয়ে পাই. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] . [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=1−x+x2;ωf(\mathrm{x})=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2 ; \omega এককের জটিল ঘনমূল ।

Mymensingh · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =3+4i3−i+1=\frac{3+4 \mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}+1 =3+4i+3−i3−i=6+3i3−i=\frac{3+4 \mathrm{i}+3-\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\frac{6+3 \mathrm{i}}{3-\mathrm{i}} =(6+3i)(3+i)(3−i)(3+i)=18+6i+9i+3i232−i2=\frac{(6+3 \mathrm{i})(3+\mathrm{i})}{(3-\mathrm{i})(3+\mathrm{i})}=\frac{18+6 \mathrm{i}+9 \mathrm{i}+3 \mathrm{i}^2}{3^2-\mathrm{i}^2} =18+15i−39+1[∵i2=−1]=\frac{18+15 \mathrm{i}-3}{9+1}\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] =15+15i10=15(1+i)10=\frac{15+15 \mathrm{i}}{10}=\frac{15(1+\mathrm{i})}{10} =32(1+i)=32+i32=\frac{3}{2}(1+\mathrm{i})=\frac{3}{2}+\mathrm{i} \frac{3}{2} ∴3+4i3−i+1=32+i32=A+iB;\therefore \quad \frac{3+4 \mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}+1 =\frac{3}{2}+\mathrm{i} \frac{3}{2}=\mathrm{A}+\mathrm{iB} ; যেখানে, A=32\mathrm{A}=\frac{3}{2} এবং B=32\mathrm{B}=\frac{3}{2}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1−x+x2f(\mathrm{x})=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2 বামপক্ষ = f(ω)⋅f(ω2)⋅f(ω4)…………2nf(\omega) \cdot f\left(\omega^2\right) \cdot f\left(\omega^4\right) \ldots \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{n} সংখ্যক পদ =(1−ω+ω2){(1−ω2+(ω2)2}{1−ω4+(ω4)2}= \left(1-\omega+\omega^2\right)\left\{\left(1-\omega^2+\left(\omega^2\right)^2\right\}\left\{1-\omega^4+\left(\omega^4\right)^2\right\}\right. =(1−ω+ω2)(1−ω2+ω4)(1−ω4+ω8)= \left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega^2+\omega^4\right)\left(1-\omega^4+\omega^8\right) =(1−ω+ω2)(1−ω2+ω)(1−ω……2n= \left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega^2+\omega\right)(1-\omega \ldots \ldots 2 \mathrm{n} সংখ্যক পদ ………2n\quad \ldots \ldots \ldots 2 \mathrm{n} সংখ্যক পদ [∵ω3=1]\left[\because \omega^3=1\right] =(1−ω+ω2)(1−ω+ω2)…….n= \left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega+\omega^2\right) \ldots \ldots . \mathrm{n} সংখ্যক পদ {(1−ω2+ω)(1−ω2+ω)…….n\quad\left\{\left(1-\omega^2+\omega\right)(1-\omega^2+\omega\right) \ldots \ldots . \mathrm{n} সংখ্যক পদ =(1−ω+ω2)n(1−ω2+ω)n= \left(1-\omega+\omega^2\right)^{\mathrm{n}}\left(1-\omega^2+\omega\right)^{\mathrm{n}} =(1+ω2−ω)n(1+ω−ω2)n=\left(1+\omega^2-\omega\right)^n\left(1+\omega-\omega^2\right)^n =(−ω−ω)n(−ω2−ω2)n∣∵1+ω+ω2=0∣=(-\omega-\omega)^n\left(-\omega^2-\omega^2\right)^n\left|\because 1+\omega+\omega^2=0\right| =(−2ω)n(−2ω2)n=(-2 \omega)^n\left(-2 \omega^2\right)^n =[(−2ω)(−2ω2)]n=\left[(-2 \omega)\left(-2 \omega^2\right)\right]^n =[4ω1]n=4n⋅(ω1)n=\left[4 \omega^1\right]^n=4^n \cdot\left(\omega^1\right)^n =(22)n⋅1n[∵ω1=1]=\left(2^2\right)^n \cdot 1^n\left[\because \omega^1=1\right] =22n=2^{2 n} ডানপক্ষ =22n(1+ω8)(1+ω10)=2^{2 n}\left(1+\omega^8\right)\left(1+\omega^{10}\right) =22n(1+(ω3)2,ω2){1+(ω3)3,ω}=2^{2 n}\left(1+\left(\omega^3\right)^2, \omega^2\right)\left\{1+\left(\omega^3\right)^3, \omega\right\} =22n(1+ω2)(1+ω)[∵ω3=1]=2^{2 n}\left(1+\omega^2\right)(1+\omega)\left[\because \omega^3=1\right] =22n⋅(−ω)(−ω2)[∵1+ω+ω2=0]=2^{2 n} \cdot(-\omega)\left(-\omega^2\right) \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] =22n⋅ω3=2^{2 n} \cdot \omega^3 =22n⋅1[∵ω3=1]=2^{2 n} \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] =22n=2^{2 n} ∴f(ω)⋅f(ω2)⋅f(ω4)……2n\therefore \quad f(\omega) \cdot f\left(\omega^2\right) \cdot f\left(\omega^4\right) \ldots \ldots 2 \mathrm{n} সংখ্যক পদ =22n(1+ω8)(1+ω10)=2^{2 \mathrm{n}}\left(1+\omega^8\right)\left(1+\omega^{10}\right). (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1−x+x2f(x)=1-x+x^2 ∴(f−x)=1−(−x)+(−x)2=1+x+x2\therefore \quad(f-\mathrm{x})=1-(-\mathrm{x})+(-\mathrm{x})^2=1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^2 এখন, {f(−x)}n=a0+a1x+a2x2+……..+a2nx2n\{f(-x)\}^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots \ldots . .+a_{2 n} x^{2 n} অর্থাৎ, (1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6\left(1+x+x^2\right)^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5+a_6 x^6 +………+a2nx2n….(1)+\ldots \ldots \ldots+a_{2 n} x^{2 n} \ldots. (1) এখন, (1)নং এ x=1\mathrm{x}=1 বসিয়ে পাই, (1+1+12)n=a0+a1+a2+a3+a4+a6+…..+a2n\left(1+1+1^2\right)^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+\ldots . .+a_{2 n} বা, 3n=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+……(2)3^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+ \ldots\ldots (2) (1)নং Ωx=ω\boldsymbol{\Omega} \mathbf{x}=\boldsymbol{\omega} বসিয়ে পাই, (1+ω+ω2)n=a0+a1ω+a2ω2+a3ω3+a4(ω)4+a5ω5+a4(ω)6+…….+a2n(ω)2n\left(1+\omega+\omega^2\right)^n=a_0+a_1 \omega+a_2 \omega{ }^2+a_3 \omega{ }^3+a_4(\omega)^4+a_5 \omega{ }^5+a_4(\omega)^6+\ldots \ldots .+a_{2 n}(\omega)^{2 n} বা, 0=a0+a1ω+a2ω2+a3+a4ω+a5ω2+a6+….(3)0=a_0+a_1 \omega+a_2 \omega^2+a_3+a_4 \omega+a_5 \omega^2+a_6+ \ldots. (3) [∵1+ω+ω2=0]\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] আবার, (1)নং এ, x=ω2\mathrm{x}=\omega^2 বসিয়ে পাই. (1+ω2+ω4)n=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+a4ω8+a5ω10\left(1+\omega^2+\omega^4\right)^n=a_0+a_1 \omega^2+a_2 \omega^4 +a_3 \omega^6+a_4 \omega^8+a_5 \omega^{10} +a6ω12+……….+a2nω4n+a_6 \omega^{12}+\ldots \ldots \ldots .+a_{2 n} \omega^{4 n} বা, (1+ω)2+ω)n=a0+a1ω2+a2(ω+a3+a4ω2+a5(ω+a6+……[∵ω3=1]\left.(1+\omega)^2+\omega\right)^n=a_0+a_1 \omega{ }^2+a_2\left(\omega+a_3+a_4 \omega^2+a_5\left(\omega+a_6+\ldots \ldots\left[\because \omega^3=1\right]\right.\right. বা, 0=a0+a1ω2+a2(ω+a3+a4ω2+a5(ω)+a6+…..(4)[∵1+ω+ω2=0]0=a_0+a_1 \omega^2+a_2\left(\omega+a_3+a_4 \omega^2+a_5(\omega)+a_6+\ldots . .(4)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\right. এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 3n=3a0+a1(1+ω+ω2)+a2(1+ω2+ω)+3a33^n=3 a_0+a_1\left(1+\omega+\omega^2\right)+a_2\left(1+\omega^2+\omega\right)+3 a_3 +a4(1+ω+ω2)+a5(1+ω2+ω)+3a6+……+a_4\left(1+\omega+\omega^2\right)+a_5\left(1+\omega^2+\omega\right)+3 a_6+\ldots \ldots বা, 3n=3a0+a1⋅0+a2⋅0+3a3+a4⋅0+a5⋅0+3a6+…..[∵1+ω+ω2=0]\quad 3^n=3 a_0+a_1 \cdot 0+a_2 \cdot 0+3 a_3+a_4 \cdot 0+a_5 \cdot 0+3 a_6+\ldots . .\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 3n=3(a0+a3+a6+…….)\quad 3^n=3\left(a_0+a_3+a_6+\ldots \ldots.\right) বা, 3n3=a0+a3+a6+…….\frac{3^n}{3}=a_0+a_3+a_6+\ldots \ldots .. বা, 3n−1=a0+a3+a6+…….3^{n-1}=a_0+a_3+a_6+\ldots \ldots .. ∴a0+a3+a0+……..=3n−1\therefore \quad a_0+a_3+a_0+\ldots \ldots . .=3^{n-1} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে, প্রমাণ কর যে, . | Prosthuti