Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] [চিত্র]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, m=3n হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] [চিত্র] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি । দৃশ্যকল্প-২ : z1=1−ix;z2=a−ib;a,b,x∈R;i=−1z_1=1-i x ; z_2=a-i b ; a, b, x \in R ; i=\sqrt{-1}.

Jessore · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, z=−2−23i\mathrm{z}=-2-2 \sqrt{3} \mathrm{i} =12−2⋅1⋅3i+(3i)2=(1−3i)2∴z=±((1−3i)2=±(1−3i)\begin{aligned}& \quad=1^2-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} i+(\sqrt{3} i)^2=(1-\sqrt{3} i)^2 \\& \therefore \quad \sqrt{z}= \pm\left(\sqrt{(1-\sqrt{3} i)^2}= \pm(1-\sqrt{3} i)\right.\end{aligned} z=1−3i\sqrt{z}=1-\sqrt{3} i এর ক্ষেত্রে, Arg⁡(z)=Arg⁡(1−3i)\operatorname{Arg}(\sqrt{z})=\operatorname{Arg}(1-\sqrt{3} i) =−tan⁡−1∣−31∣[∵=-\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{1}\right|[\because বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত] =−tan⁡−13=−π3=-\tan^{-1} \sqrt{3}=-\frac{\pi}{3} z=−(1−3i)=−1+3i\sqrt{z}=-(1-\sqrt{3} i)=-1+\sqrt{3} i এর ক্ষেত্রে, Arg⁡(z)=Arg⁡(−1+3i)\operatorname{Arg}(\sqrt{z})=\operatorname{Arg}(-1+\sqrt{3} i) =π−tan⁡−1∣3−1∣[∵=\pi-\tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right|[\because বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ]] =π−tan⁡−13=π−π3=2π3=\pi-\tan^{-1} \sqrt{3}=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় আর্গুমেন্ট −π3,2π3-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=1−ix;z2=a−ib;a,b,x∈R\mathrm{z}_1=1-\mathrm{ix} ; \mathrm{z}_2=\mathrm{a}-\mathrm{ib} ; \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{x} \in \mathbb{R} এবং i=−1\mathrm{i}=\sqrt{-1} বা, i2=−1\mathrm{i}^2=-1 a2+b2=1∴zˉ1=1+ix\begin{array}{ll} & a^2+b^2=1 \\ \therefore \quad & \bar{z}_1=1+\mathrm{ix}\end{array} এখন, z1=z‾1.z2\mathrm{z}_1=\overline{\mathrm{z}}_1 . \mathrm{z}_2 বা, 1−ix=(1+ix)(a−ib)1-i x=(1+i x)(a-i b) বা, 1−ix=a−ib+iax−i2bx1-i x=a-i b+i a x-i^2 b x বা, 1−ix=a−ib+iax+bx[∵i2=−1]\quad 1-i x=a-i b+i a x+b x\left[\because i^2=-1\right] বা, iax+bx+ix=1−a+ibi a x+b x+i x=1-a+i b বা, x(ia+b+i)=1−a+ibx(i a+b+i)=1-a+i b \begin{aligned} \therefore \quad x & =\frac{1-a+i b}{b+i(1+a)}=\frac{(1-a+i b)\{b-i(1+a)\}}{\{b+i(1+a)\}\{b-i(1+a)\}} \\ & =\frac{b-i(1+a)-a b+i a(1+a)+i b^2-i^2 b(1+a)}{b^2-\{i(1+a)\}^2} \\ & =\frac{b-i-i a-a b+i a+i a^2+i b^2+b+a b}{b^2+(1+a}^2}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{2 b-i+i\left(a^2+b^2\right)}{b^2+1+2 a+a^2}=\frac{2 b-i+i\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2+2 a+1} \\ & =\frac{2 b-i+i}{1+2 a+1}\left[\because a^2+b^2=1\right] \\ & =\frac{2 b}{2 a+2}=\frac{2 b}{2(a+1)}=\frac{b}{a+1}\end{aligned} ∴x=ba+1;\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}+1} ; যা x এর একটি বাস্তব মান। : z1=z‾1z2\mathrm{z}_1=\overline{\mathrm{z}}_1 \mathrm{z}_2 সমীকরণে x এর একটি বাস্তব মান বিদ্যমান । (দেখানো হল)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} \mathrm{i} ∴zˉ=−2+23i\therefore \quad \bar{z}=-2+2 \sqrt{3} i ∴(z4)m+(zˉ4)m=(−2−23i4)m+(−2+23i4)m={2(−1−3i)4}m+{2(−1+3i)4}m={12(−1−3i)}m+{12(−1+3i)}m=(ω2)m+(ω)m=ω2m+ωm\begin{aligned} & \therefore \quad\left(\frac{z}{4}\right)^m+\left(\frac{\bar{z}}{4}\right)^m=\left(\frac{-2-2 \sqrt{3} i}{4}\right)^m+\left(\frac{-2+2 \sqrt{3} i}{4}\right)^m \\ &=\left\{\frac{2(-1-\sqrt{3} i)}{4}\right\}^m+\left\{\frac{2(-1+\sqrt{3} i)}{4}\right\}^m \\ &=\left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i)\right\}^m+\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\right\}^m \\ &=\left(\omega^2\right)^m+(\omega)^m=\omega^{2 m}+\omega^m\end{aligned} এখানে, m=3n হলে, (z4)m+(zˉ4)m=ω2m+ωm=(ω2)3n+ω3n=(ω3)2n+(ω3)n=1+1[∵ω3=1]=2\begin{aligned}\left(\frac{z}{4}\right)^m+\left(\frac{\bar{z}}{4}\right)^m & =\omega^{2 m}+\omega^m=\left(\omega^2\right)^{3 n}+\omega^{3 n} \\ & =\left(\omega^3\right)^{2 n}+\left(\omega^3\right)^n \\ & =1+1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =2\end{aligned} m=3n+1m=3 n+1 হলে, (z4)m+(zˉ4)m=ω2m+ωm=(ω2)3n+1+ω3n+1=ω6n+2+ω3n+1=ω6n⋅ω2+ω3n⋅ω=(ω3)2n⋅ω2+(ω3)n⋅ω=1⋅ω2+1⋅ω[∵ω3=1]=ω2+ω=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned}\left(\frac{z}{4}\right)^m+\left(\frac{\bar{z}}{4}\right)^m & =\omega^{2 m}+\omega^m \\ & =\left(\omega^2\right)^{3 n+1}+\omega^{3 n+1} \\ & =\omega^{6 n+2}+\omega^{3 n+1} \\ & =\omega^{6 n} \cdot \omega^2+\omega^{3 n} \cdot \omega \\ & =\left(\omega^3\right)^{2 n} \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^n \cdot \omega \\ & =1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =\omega^2+\omega \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} m=3n+2m=3 n+2 হলে, (z4)m+(zˉ4)m=ω2m+ωm=(ω2)3n+2+ω3n+2=ω6n+4+ω3n+2=ω6n⋅ω4+ω3n⋅ω2=(ω3)2n⋅ω3⋅ω+(ω3)n⋅ω2=1⋅1⋅ω+1⋅ω2[∵ω3=1]=ω+ω2=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned}\left(\frac{z}{4}\right)^m+\left(\frac{\bar{z}}{4}\right)^m & =\omega^{2 m}+\omega^m \\ & =\left(\omega^2\right)^{3 n+2}+\omega^{3 n+2} \\ & =\omega^{6 n+4}+\omega^{3 n+2} \\ & =\omega^{6 n} \cdot \omega^4+\omega^{3 n} \cdot \omega^2 \\ & =\left(\omega^3\right)^{2 n} \cdot \omega^3 \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^n \cdot \omega^2 \\ & =1 \cdot 1 \cdot \omega+1 \cdot \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =\omega+\omega^2=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} question image (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন