Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা [গণিত] যখন [গণিত] এর মান যথাক্রমে [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য অথবা [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য নয়।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে , [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] অতএব, [গণিত] , যখন [গণিত] এর মান 3 ঘ্বারা বিভাজ্য অথবা, [গণিত] যখন [গণিত] এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, অথবা যখন এর মান যথাক্রমে দ্বারা বিভাজ্য অথবা দ্ব…

উদ্দীপক

z1=−1−i3,z2=3−iz_1=-1-i \sqrt{3}, z_2=\sqrt{3}-i

রংপুর ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

ধরি, i3+−i3=x\sqrt[3]{i}+\sqrt[3]{-i}=x বা, (i3+−i3)3=x3(\sqrt[3]{i}+\sqrt[3]{-i})^3=x^3 [ঘন করে] বা, x3=(i3)3+(−i3)3+3⋅i3⋅−i3(i3+−i3)x^3=(\sqrt[3]{i})^3+(\sqrt[3]{-i})^3+3 \cdot \sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{-i}(\sqrt[3]{i}+\sqrt[3]{-i}) বা, x3=i−i+3⋅(−i2)3⋅xx^3=i-i+3 \cdot \sqrt[3]{\left(-i^2\right)} \cdot x বা, x3=3−(−1)3×[∵i2=−1]x^3=3 \sqrt[3]{-(-1)} \times\left[\because i^2=-1\right] বা, x3=313xx^3=3 \sqrt[3]{1} x বা, x3=3xx^3=3 x বা, x3−3x=0x^3-3 x=0 বা, x(x2−3)=0\mathbf{x}\left(x^2-3\right)=0 ∴x=0\therefore \quad \mathbf{x}=\mathbf{0} অথবা, x2−3=0x^2-3=0 বা, x2=3x^2=3 নির্ণেয় মান ;0,±3; 0, \pm \sqrt{3}.

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3z_1=-1-i \sqrt{3} এবং z2=3−iz_2=\sqrt{3}-i Arg⁡z1=−π+tan⁡−1∣yx∣[∵\operatorname{Arg} z_1=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|[\because বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে ]] =−π+tan⁡−1∣−3−1∣=−π+tan⁡−1(3)=−π+π3=−2π3\begin{aligned}& =-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right| \\& =-\pi+\tan^{-1}(\sqrt{3})=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2 \pi}{3}\end{aligned} এবং Arg⁡z2=−tan⁡−1∣yx∣[∵\operatorname{Arg} z_2=-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|[\because বিন্দুটি 8র্থ চতুর্ভাগে] =−tan⁡−1∣−13∣=−tan⁡−1(13)=−π6∴z1z2=−1−3i3−i=(−1−3i)(3+i)(3−i)(3+i)\begin{aligned}& =-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{\sqrt{3}}\right|=-\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6} \therefore \quad \frac{z_1}{z_2}= & \frac{-1-\sqrt{3} i}{\sqrt{3}-i} \\= & \frac{(-1-\sqrt{3} i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}\end{aligned} [লব ও হরকে হরের অনুবদ্খী জটিল সংখ্যা (3+i)(\sqrt{3}+i) দ্বারা গুণ করে] =−3−i−3i−3i2(3)2−i2=−3−4i+33+1[∵i2=1]=−4i4=−i=0−i\begin{aligned} & =\frac{-\sqrt{3}-i-3 i-\sqrt{3} i^2}{(\sqrt{3})^2-i^2} \\ & =\frac{-\sqrt{3}-4 i+\sqrt{3}}{3+1}\left[\because i^2=1\right] \\ & =\frac{-4 i}{4}=-i=0-i\end{aligned} বামপক্ষ =Arg⁡(z1z2)=−tan⁡−1∣−10∣=−tan⁡−1(∞)=−π2=\operatorname{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=-\tan^{-1}\left|\frac{-1}{0}\right|=-\tan^{-1}(\infty)=-\frac{\pi}{2} ডানপক্ষ =Argz1−Argz2=\mathrm{Argz}_1-\mathrm{Argz}_2 =−2π3−(−π6)=−2π3+π6=−4π+π6=−3π6=−π2=-\frac{2 \pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{-4 \pi+\pi}{6}=\frac{-3 \pi}{6}=-\frac{\pi}{2} ∴Arg⁡(z1z2)=Arg⁡z1−Arg⁡z2⋅\therefore \quad \operatorname{Arg}\left(\frac{\mathrm{z}_1}{\mathrm{z}_2}\right)=\operatorname{Arg} \mathrm{z}_1-\operatorname{Arg} \mathrm{z}_2 \cdot (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, z1=−1−i3\mathrm{z}_1=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} ∴zˉ1=−1+i3\therefore \bar{z}_1=-1+\mathrm{i} \sqrt{3} ∴(12zˉ1)n+(12z1)n={12(ω1+3i)}n+{12(−1−3i)}n=ωn+(ω2)n=ωn+ω2n\begin{aligned} \therefore \quad\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n & =\left\{\frac{1}{2}(\omega 1+\sqrt{3} i)\right\}^n+\left\{\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i)\right\}^n \\ & =\omega^n+\left(\omega^2\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n}\end{aligned} এখানে , n=3mn=3 m হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} =ω3m+(ω2)3m=(ω3)m+(ω3)2m=1+1[∵ω3=1]=2\begin{aligned} & =\omega^{3 m}+\left(\omega^2\right)^{3 m}=\left(\omega^3\right)^m+\left(\omega^3\right)^{2 m} \\ & =1+1\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =2\end{aligned} n=3m+1n=3 m+1 হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} =ω3m+1+(ω2)3m+1=(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=ω+ω2[∵ω3=1]=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =\omega^{3 m+1}+\left(\omega^2\right)^{3 m+1} \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 \\ & =\omega+\omega^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} n=3m+2n=3 m+2 হলে, (12zˉ1)n+(12z1)n=ωn+ω2n\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} =ω3 m+2+(ω2)3 m+2=(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω=ω2+ω=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =\omega^{3 \mathrm{~m}+2}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}+2} \\ & =\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^2\right)^2 \\ & =1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega^3 \cdot \omega=\omega^2+\omega \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} অতএব, (12zˉ1)n+(12z1)n=2\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n=2, যখন nn এর মান 3 ঘ্বারা বিভাজ্য অথবা, (12zˉ1)n+(12z1)n=−1\left(\frac{1}{2} \bar{z}_1\right)^n+\left(\frac{1}{2} z_1\right)^n=-1 যখন nn এর মান অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন