Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা [গণিত] যখন [গণিত] এর মান যথাক্রমে ও দ্বারা বিভাজ্য অথবা অবিভাজ্য।

উত্তর: উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ, [গণিত] (ধরি) [গণিত] সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয়, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] অতএব, [গণিত] অথবা -1 ; যখন [গণিত] এর মান যথাক্রমে 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা অবিভাজ্য। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, অথবা যখন এর মান যথাক্রমে ও দ্বা…

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : z=1+ix,a2+b2=1;z=1+i x, a^2+b^2=1 ; যেখানে x,a,b∈Rx, a, b \in \mathbf{R} এবং i=−1i=\sqrt{-1}. উদ্দীপক-২ : x2+x+1=0x^2+x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta.

সরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া · 2025

উত্তর

Ti+i=12(2+2i)Ti +\mathrm{i} =\frac{1}{2}(2+2 \mathrm{i}) =12{2+21i}=\frac{1}{2}\{2+2 \sqrt{1} \mathrm{i}\} =12{(2+1)−(2−1)+2(2+1)(2−1)i}=\frac{1}{2}\{(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)+2 \sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) \mathrm{i}}\} =12{(2+1)+(2−1)i2+2(2+1)12⋅(2−1)12i}=\frac{1}{2}\left\{(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1) \mathrm{i}^2+2(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}} \cdot(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right\} =12[{(2+1)12}2+{(2−1)12i}2+2(2+1)12(2−1)12i]=\frac{1}{2}\left[\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}\right\}^2+\left\{(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right\}^2+2(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right] =12{(2+1)12+(2−1)12i}=\frac{1}{2}\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}+(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right\} ∴1+i=±12{(2+1)12+(2−1)12i}\therefore \sqrt{1+\mathrm{i}} = \pm \frac{1}{2}\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}+(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right\} নির্ণেয় বর্গমূল =±12{(2+1)12+(2−1)12i}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left\{(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{2}}+(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{i}\right\}.

উত্তর

দেওয়া আছে, z=1+ix\mathrm{z}=1+\mathrm{ix} ∴z‾=1−ix\therefore \overline{\mathrm{z}}=1-\mathrm{ix} প্রশ্নমতে, zˉ=z(a−ib)\bar{z}=z(a-i b) বা, ZˉZ=(a−ib)\frac{\bar{Z}}{Z}=(a-i b) বা, 1−ix1+ix=a−ib\frac{1-i x}{1+i x}=a-i b বা, 1+ix1−ix=1a−ib\frac{1+i x}{1-i x}=\frac{1}{a-i b} [বিপরীতকরণ করে] বা, 1+ix−1+ix1+ix+1−ix=1−a+ib1+a−ib\frac{1+i x-1+i x}{1+i x+1-i x}=\frac{1-a+i b}{1+a-i b} [বিয়োজন-যোজন করে] বা, \frac{2 i x}{2}=\frac{(1-a+i b)(1+a+i b)}{(1+a-i b}(1+a+i b)}বা, i x=\frac{(1+i b-a)(1+i b+a)}{(1+a}^2-(i b)^2} =(1+ib)2−a21+2a+a2−i2b2=1+2ib+i2b2−a21+2a+a2+b2[∵i2=−1]=\frac{(1+i b)^2-a^2}{1+2 a+a^2-i^2 b^2}=\frac{1+2 i b+i^2 b^2-a^2}{1+2 a+a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] =1+2ib−(a2+b2)1+2a+a2+b2=1+2ib−11+2a+1[∵a2+b2=1]=\frac{1+2 i b-\left(a^2+b^2\right)}{1+2 a+a^2+b^2}=\frac{1+2 i b-1}{1+2 a+1}\left[\because a^2+b^2=1\right] বা, ix=2ib2(1+a)=ib1+ai x=\frac{2 i b}{2(1+a)}=\frac{i b}{1+a} ∴x=b1+a\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{1+\mathrm{a}}, যা xx এর বাস্তব মান। অতএব, zˉ=z(a−ib)\bar{z}=z(a-i b) ) সমীকরণের একটি বাস্তব মূল বিদ্যমান। (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ, x2+x+1=0x^2+x+1=0 ∴x=−1±12−4⋅1⋅12⋅1=−1±−32\therefore \quad x =\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} =−1±3i2[∵i=−1]=\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}[\because i=\sqrt{-1}] =−1+3i2,−1−3i2=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3} i}{2} =ω,ω2=\omega, \omega^2 (ধরি) ∴\therefore সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয়, α=ω\alpha=\omega এবং β=ω2\beta=\omega^2 এখন, αn+βn=ωn+(ω2)n=ωn+ω2n\alpha^n+\beta^n=\omega^n+\left(\omega^2\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} এখানে, n=3 m\mathrm{n}=3 \mathrm{~m} হলে, αn+βn=ω3 m+(ω2)3 m=(ω3)m+(ω3)2 m\alpha^{\mathrm{n}}+\beta^{\mathrm{n}}=\omega^{3 \mathrm{~m}}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}}=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}}+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} =1+1[∵ω3=0]=1+1\left[\because \omega^3=0\right] =2=2 n=3m+1n=3 m+1 হলে, αn+βn=ω3m+1+(ω2)3m+1\alpha^n+\beta^n =\omega^{3 m+1}+\left(\omega^2\right)^{3 m+1} =(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 =ω+ω2[∵ω3=1]=\omega+\omega^2\left[\because \omega^3=1\right] =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] n=3 m+2\mathrm{n}=3 \mathrm{~m}+2 হলে, αn+βn=ω3 m+2+(ω2)3 m+2\alpha^{\mathrm{n}}+\beta^{\mathrm{n}} =\omega^{3 \mathrm{~m}+2}+\left(\omega^2\right)^{3 \mathrm{~m}+2} =(ω3)m⋅ω2+(ω3)2 m⋅(ω2)2=\left(\omega^3\right)^{\mathrm{m}} \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 \mathrm{~m}} \cdot\left(\omega^2\right)^2 =1⋅ω2+1⋅ω3⋅ω=1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega^3 \cdot \omega =ω2+ω[∵ω3=1]=\omega^2+\omega\left[\because \omega^3=1\right] =−1[∵1+ω+ω2=0]=-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] অতএব, αn+βn=2\alpha^n+\beta^n=2 অথবা -1 ; যখন nn এর মান যথাক্রমে 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা অবিভাজ্য। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— ı. 1+a+b=0\ii. ab=1.\iii. b=a2\begin{array}{l}\text{\i. } 1+a+b=0\text{\ii. } a b=1 \text{.}\text{\iii. } \mathrm{b}=\mathrm{a}^{2}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.কাল্পনিক একক ii এবং এককের জটিল ঘনমূল ω\boldsymbol{\omega} হলে- i. ω3=−1\omega^{3}=-1 ii. i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 iii. ω+ω2=−1\omega+\omega^{2}=-1 নিচের কোনটি সঠিক?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.z=−1+i3z=-1+i \sqrt{3} হলে- i. z9=64z^{9}=64 ii. zz এর আর্গুমেন্ট 120∘120^{\circ} iii. zz এর বর্গমূল ±12(1−i3)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i \sqrt{3}) নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2017

  • ক
    i
  • খ
    ii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.এককের একটি জটিল ঘনমূল ω\omega হলে ω6n+3=?\omega^{6 n+3}=?

Barisal · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    ω\omega
  • ঘ
    ω2\omega^{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ω\boldsymbol{\omega} এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে,ω92+ω16\omega^{92}+\omega^{16} এর মান কত?

Jessore · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −ω-\omega
  • গ
    −ω2-\omega^{2}
  • ঘ
    2ω2 \omega

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.1ω2015+1ω2016+1ω2017\frac{1}{\omega^{2015}}+\frac{1}{\omega^{2016}}+\frac{1}{\omega^{2017}} এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    −2ω2-2 \omega^{2}
  • খ
    −2ω-2 \omega
  • গ
    00
  • ঘ
    33

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    11

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.i এর বর্গমূল কোনটি ?

Dhaka · 2017

  • ক
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)
  • খ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)
  • গ
    ±12(1−i)\pm \frac{1}{2}(1-\mathrm{i})
  • ঘ
    ±12(1+i)\pm \frac{1}{2}(1+\mathrm{i})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.z=x+iyz=x+i y ও yy বাস্তব সংখ্যা হলে ∣z∣2=1|z|^{2}=1 দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?

Chittagong · 2017

  • ক
    উপবৃত্ত
  • খ
    বৃত্ত
  • গ
    পরাবৃত্ত
  • ঘ
    অধিবৃত্ত

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.im+im+1+im+2+im+3=\mathbf{i}^{m}+\mathbf{i}^{m+1}+\mathbf{i}^{m+2}+\mathbf{i}^{m+3}= কত ? (m∈Z)?(m \in \mathbb{Z}) ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    −i-i
  • গ
    00
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.i−70+1i^{-70}+1 এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    00
  • খ
    22
  • গ
    1−i1-i
  • ঘ
    1+i1+i

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.i4n+3,n∈Ni^{4 n+3}, n \in \mathbb{N} এর মান কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    11
  • গ
    −i-i
  • ঘ
    ii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

এককের জটিল ঘনমূল দুইটি a ও b হলে— [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?কাল্পনিক একক [গণিত] এবং এককের জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] iii. [[গণিত] হলে- i. [গণিত] ii. [গণিত] এর আর্গুমেন্ট [গণিত] iii. [গণিত] এর বর্গমূল [গণএককের একটি জটিল ঘনমূল [গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি ?এককের কাল্পনিক ঘনমূল দুইটির গুণফল কত?i এর বর্গমূল কোনটি ?[গণিত] ও [গণিত] বাস্তব সংখ্যা হলে [গণিত] দ্বারা কি নির্দেশিত হয় ?[গণিত] কত ? [গণিত][গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এর মান কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন