Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের মূলष্য m ও n হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] নং এর মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এবং [গণিত] আবার, [গণিত] নং থেকে পাই, [গণিত] বা. [গণিত] একইভাবে, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের মূলष্য m ও n হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=ax2+bx+cg(x)=c2x2−(b2−2ac)x+a2\begin{aligned}& f(x)=a x^2+b x+c \\& g(x)=c^2 x^2-\left(b^2-2 a c\right) x+a^2\end{aligned}

Barisal · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, 6x3−x+13=06 \mathrm{x}^3-\mathrm{x}+13=0 বা, 6x3−0⋅x2−x+13=06 x^3-0 \cdot x^2-x+13=0……(1)\ldots\ldots(1) (1)(1) নং এর মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে- α+β+γ=0αβ+βγ+γα=−16\begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=0 \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-\frac{1}{6}\end{aligned} এবং αβγ=−136\alpha \beta \gamma=\frac{-13}{6} এখন, Σ(α−β)2=(α−β)2+(β−γ)2+(γ−α)2\Sigma(\alpha-\beta)^2=(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2 =α2−2αβ+β2+β2−2βγ+γ2+γ2−2γα+α2=2(α2+β2+γ2)−2(αβ+βγ+γα)=2[(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)]−2(αβ+βγ+γα)=2[02−2(−16)]−2(−16)=2×13+13=33=1\begin{aligned} & =\alpha^2-2 \alpha \beta+\beta^2+\beta^2-2 \beta \gamma+\gamma^2+\gamma^2-2 \gamma \alpha+\alpha^2 \\ & =2\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) \\ & =2\left[(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right]-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) \\ & =2\left[0^2-2\left(-\frac{1}{6}\right)\right]-2\left(-\frac{1}{6}\right) \\ & =2 \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\end{aligned} নির্ণেয় মান: 1.1.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c এবং f(x)=0f(\mathrm{x})=0 বা, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 ……..(i)\ldots\ldots..(i) (1)(1) নং এর মূলদ্ধয় mm ও nn হলে, m+n=−ba.\mathrm{m}+\mathrm{n}=-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} . এবং mn=cam n=\frac{c}{a} আবার, g(x)=c2x2−(b2−2ac)x+a2g(x)=c^2 x^2-\left(b^2-2 a c\right) x+a^2 এবং g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 বা, c2x2−(b2−2ac)x+a2=0c^2 x^2-\left(b^2-2 a c\right) x+a^2=0 বা, c2x2a2−(b2a2−2ca)x+1=0[a2\frac{c^2 x^2}{a^2}-\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2 c}{a}\right) x+1=0 \quad\left[a^2\right. দ্বারাভাগ করে ]] বা, (ca)2x2−{(−ba)2−2⋅ca}x+1=0\left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right)^2 \mathrm{x}^2-\left\{\left(-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)^2-2 \cdot \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right\} \mathrm{x}+1=0 বা, (mn)2x2−{(m+n)2−2mn}x+1=0(m n)^2 x^2-\left\{(m+n)^2-2 m n\right\} x+1=0 বা, (mn)2x2−(m2+n2)x+1=0(m n)^2 x^2-\left(m^2+n^2\right) x+1=0 বা, m2n2x2−m2x−n2x+1=0m^2 n^2 x^2-m^2 x-n^2 x+1=0 বা, m2x(n2x−1)−1(n2x−1)=0m^2 x\left(n^2 x-1\right)-1\left(n^2 x-1\right)=0 বা, (n2x−1)(m2x−1)=0\left(n^2 x-1\right)\left(m^2 x-1\right)=0 হয়, n2x−1=0n^2 x-1=0 বা, n2x=1n^2 x=1 ∴x=1n2\therefore x=\frac{1}{n^2} অথবা, m2x−1=0m^2 x-1=0 বা, m2x=1\mathrm{m}^2 \mathrm{x}=1 ∴x=1 m2\therefore x=\frac{1}{\mathrm{~m}^2} ∴g(x)=0\therefore g(x)=0 সমীকরণের মূলঘয় 1m2⋅1n2\frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^2}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^2+b x+c এবং f(x)=0f(x)=0 বা, ax2+bx+c=0a x^2+b x+c=0 (1)(1) নং এর মূলদ্বয় mm ও nn হলে, m+n=−bam+n=-\frac{b}{a} এবং mn=cam n=\frac{c}{a} আবার, (1)(1) নং থেকে পাই, am2+bm+c=0a m^2+b m+c=0 বা. am2+c=−bm\quad a m^2+c=-b m একইভাবে, an2+bn+c=0\mathrm{an}^2+\mathrm{bn}+\mathrm{c}=0 বা, an2+c=−bn\mathrm{an}^2+\mathrm{c}=-\mathrm{bn} বামপক্ষ =(am2+c)−2+(an2+c)−2=\left(a m^2+c\right)^{-2}+\left(a n^2+c\right)^{-2} \begin{aligned} & =(-b m)^{-2}+(-b n)^{-2} \\ & =\frac{1}{b^2 m^2}+\frac{1}{b^2 n^2}=\frac{n^2+m^2}{b^2 m^2 n^2} \\ & =\frac{(m+n))^2-2 m n}{b^2(m n}^2}=\frac{\frac{b^2}{a^2}-2 \frac{c}{a}}{b^2 \cdot \frac{c^2}{a^2}}=\frac{\frac{b^2-2 a c}{a^2}}{\frac{b^2 c^2}{a^2}}\end{aligned} =b2−2aca2×a2b2c2=b2−2acb2c2==\frac{b^2-2 a c}{a^2} \times \frac{a^2}{b^2 c^2}=\frac{b^2-2 a c}{b^2 c^2}= ডানপক্ষ ∴(am2+c)−2+(an2+c)−2=b2−2acb2c2\therefore\left(a m^2+c\right)^{-2}+\left(a n^2+c\right)^{-2}=\frac{b^2-2 a c}{b^2 c^2}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c মূলগুলি নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 2x3+3x2−5x−6=02 x^{3}+3 x^{2}-5 x-6=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় a,b,ca, b, c ∑a2\sum \mathrm{a}^{2} এর মান নিচের কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে pp এর মান—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : x2−3x−p=0x^{2}-3 x-p=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের একটি মূল −2′-2' হলে pp এর মান কত?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.ax2+bx+c=0,(a≠0)a x^{2}+b x+c=0,(a \neq 0) সমীকরণের পৃথায়ক DD হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন D≥0\mathrm{D} \geq 0 ii. মূলদ্বয় সমান যখন D=0D=0 iii. মূলদ্বয় মূলদ যখন D<0\mathrm{D}<0 নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.3x2+x+2=03 x^{2}+x+2=0 এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল −13-\frac{1}{3} iii. মূলদ্বয়ের গুণফল 23\frac{2}{3} নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.9x3+45x2+60x−27=09 x^{3}+45 x^{2}+60 x-27=0 সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2x3−3x2−3x+2=02 x^{3}-3 x^{2}-3 x+2=0 এর মূলগুলি α,β\alpha, \beta ও γ\gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2x3−3x−5=02 x^{3}-3 x-5=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, Σαβ\Sigma \alpha \beta এর মান কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.4x3+12x2−3x+52=04 x^{3}+12 x^{2}-3 x+52=0 সমীকরণের একটি মূল 12−3i\frac{1}{2}-\sqrt{3} i হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.mx3−nx+3=0m x^{3}-n x+3=0 সমীকরণের মূলত্রয় a,ba, b ও cc হলে ab+bc+caa b+b c^{}+c a এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.6x2−5x+3=06 x^{2}-5 x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে 1α+1β=?\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] মনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] এনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। মূলদ্বয় নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সমীকরণের [গণিত] সমীকরণের পৃথায়ক [গণিত] হলে- i. মূলদ্বয় বাস্তব যখন [গণিত] ii. মূলদ্বয় স[গণিত] এর ক্ষেত্রে- i. মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান ii. মূলদ্বয়ের যোগফল [গণিত] iii. ম[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয়ের সমষ্টি কত?[গণিত] এর মূলগুলি [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] এর মান কত?[গণিত] সমীকরণের একটি মূল [গণিত] হলে, এর বাস্তব মূল কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন